Numerische Stabilität beim Gauß Algorithmus mit Pivotisierung.

Question

um Numerische Fehler zu vermeiden...
Ist es sinnvoller durch große Elemente zu teilen oder durch kleine Elemente zu teilen. Bezieht sich auf den Gauß-Algorithmus mit Pivotisierung.

Answer 1

Um Rundungsfehler zu vermeiden, ist es besser, durch große Zahlen zu dividieren.

Kleines Beispiel: Du dividierst 1 durch 0,05 bzw. 5 und hast dabei im Divisor einen absoluten Fehler von 0,01.

Dann ist \( \frac{1}{0,05\pm 0,01}\in [16,\bar{6};25] \), und \( \frac{1}{5\pm 0,01}\in [0,1996;0,200] \). Bei dem größeren Divisor ist das "Fehlerintervall" viel kleiner.

Bei betragsmäßig sehr kleinen Zahlen kann also bei der Division der Fehler sehr groß werden!

Comments

Hi,

vielen Dank für deine Antwort.
Super Beispiel, jetzt ist es mir schon viel klarer !

Danke Danke und Grüße !

Answer 2

bei gegebener Speicherkapazität kann man auch in den rationalen Zahlen rechnen. Kann man sich eine gewisse Speicherkapazität leisten, so kann man durch das Rechnen in ℚ sämtliche Fehler vermeiden, mit anderen Worten fehlerfrei rechnen. Dies erlaubt die Exaktheit des Gauß-Algorithmus.

Sind für einen Algorithmus hingegen die Auswertungen von Potenzreihen notwendig, die immer nur bis zu einer endlichen Ordnung entwickelt werden können (z.B. exp-Funktion oder sin-Funktion), so erzeugt man auch beim Rechnen mit rationalen Zahlen Fehler, die im Abbruch der Potenzreihen ihren Ursprung haben.

Da irrationale Zahlen auf Reihendarstellungen zurückgehen, erzeugen sie den Fehler als Eingabedaten bereits zu Beginn des Gauß-Algorithmus.

Grundrechenarten in ℚ lassen sich hingegen (bei gegebener Speicherkapazität) immer fehlerfrei durchführen.

MfG

Mister