darstellende Matrix bestimmen von basen B, E und C und Basis bestimmen

Question

Sei B=((1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1)) eine Basis des R⁴

Sei g: ℝ⁴-->ℝ⁶ die ℝ- lineare Abbildung gegeben durch g(a,b,c,d)= (-a,-b,-c,-d,0,0). Ich soll eine Basis C bestimmen die g(B) enthält.

Außerdem sei für n ∈ℕ ε_n={e₁,...,e_n} eine Standardbasis des ℝⁿ. Bestimmen sie die darstellende Matrix von g zunächst bezüglich der Basen ε₄ und ε₆, danach bezüglich der Basen B und ε₆ und schließlich bezüglich der Basen B und C.

Die Basis C sieht bei mir folgendermaßen aus:

C={(1,0,0,0,0,0), (0,1,0,0,0,0), (0,0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0,0) (0,0,0,0,1,0), (0,0,0,0,0,,1)} Ist diese richtig=

Die darstellende Matrix bezüglich ε₄ und ε₆ ist

(1000,0100, 0001, 0000, 0000)^T

Stimmt das und wie macht man die anderen darstellenden Matrizen?

Answer 1

> C={(1,0,0,0,0,0), (0,1,0,0,0,0), (0,0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0,0) (0,0,0,0,1,0), (0,0,0,0,0,,1)}

Also es ist schon mal (0,0,0,1,0,0) ≠ g((0,0,0,1)). Die Chancen, dass g((0,0,0,1)) in C liegt, sind dadurch rapide gesunken.

> (1000,0100, 0001, 0000, 0000)^T

Das  sieht nicht nach einer Matix aus, die eine  Abildung von ℝ⁴ nach ℝ⁶ darstellt.

> und wie macht man die anderen darstellenden Matrizen

Aus wikipedia://Abbildungsmatrix: Nach der Wahl einer Basis aus der Definitionsmenge und der Zielmenge stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums.

Sei also {b₁, ..., b₄} eine Basis von ℝ⁴ und {c₁, ..., c₆} eine Basis von ℝ⁶.

Löse die Gleichung g(b₁) = λ₁c₁ + λ₂c₂ + λ₃c₃ + λ₄c₄ + λ₅c₅ + λ₆c₆. In der ersten Spalte der Abbildungsmatrix von g bezüglich B und C steht dann (λ₁, λ₂, λ₃, λ₄, λ₅, λ₆).

Comments

Ah stimmt da war wirklich einiges falsch. Ist die Basis C richtig wenn ich immer -1 anstelle von 1 schreibe? Weil das hab ich ehrlich gesagt noch nicht richig verstanden, wie ich die Basis C bestimme.

Aber die darstellende Matrix bezüglich ε4 und ε6 ist

(-100000,0-10000, 00-1000, 000-100,)^T

und bezüglich B und ε6

(-1-10000, 0-1-1000, 00-1-100, 000-100))^T

Answer 2

Bilde doch erst mal von jedem aus B das Bild. Dann kommst du vielleicht auch auf sowas:

C={(-1,-1,0,0,0,0), (0,-1,-1,0,0,0), (0,0,-1,-1,0,0), (0,0,0,-1,0,0) (0,0,0,0,1,0), (0,0,0,0,0,,1)}

bezüglich der Basen ε4 und ε6 sieht die Matrix so aus. (Verwende den Hinweis von Oswald.)

-1          0          0          0                0           0

 0          -1          0          0               0           0 

0          0          -1           0               0           0

0          0          0           -1               0          0  

0          0          0          0                 0           0

0          0          0         0                  0           0

Bei  B  und ε6 sieht die Matrix so aus

-1          0          0          0              0           0
-1          -1          0        0             0           0 
0          -1         -1         0             0           0
0          0          -1         -1             0          0 
0          0          0          0               0           0
0          0          0           0                0           0

Comments

Warum habe ich denn die letzen beiden Spalten immer auch noch? Erhalte ich hier nicht immer eine 6x4 Matrix