wie merke ich, ob 4 vektoren komplanar

Question

ich habe eine aufgabe, bei der ich den vektor v als linearkombination von den vektoren a,b und c darstellen soll

mit einem gleichungssystem habe ich die werte herausgefunden, aber als ich diese dann eingesetzt habe, bekam ich nicht vektor v

das heisst, dass a,b,c und v nicht komplanar ist, nicht wahr? 

gibt es aber auch eine weitere Möglichkeit, dass herauszufinden (also ohne einsetzen)

ich lade auch noch ein bild von der aufgabe hoch

vielen Dank

Answer 1

Merke: n linear unabhängige Vektoren spannen einen n-Dimensionalen Vektorraum auf.

Also: 4 linear unabhängige Vektoren spannen einen 4-Dimensionalen Vektorraum auf.

4 Vektoren des R^3 müssen also immer linear abhängig sein.

r·[-4, 2, 0] + s·[-3, 1, 1] = [1, 1, -3] --> r = 2 ∧ s = -3

c ist bereits abhängig von a und b.

Comments

"komplanar" heisst eigentlich: "Liegen in einer Ebene" D.h. in 3D in der Regel, dass sie eine (2-dimensionale) Ebene aufspannen. 

Leider fehlt der Text der Fragestellung.

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Laut Aufgabe ist wohl nur gefordert v mittels a, b und c darzustellen. 

Es geht wohl um keine Überprüfung ob komplanar oder linear abhängig.

a·[-4, 2, 0] + b·[-3, 1, 1] + c·[1, 1, -3] = [5, 3, 1]

Dieses Gleichungssystem hat keine Lösung weil die Vektoren a, b und c komplanar sind und v nicht auf dieser Ebene liegt.