Die Basis eines Vektorraums ist die maximale Menge an linear unabhĂ€ngigen Vektoren. Offensichtlich sind die beiden Vektoren linear unabhĂ€ngig. Wir mĂŒssen nun zeigen, dass wir keinen linear unabhĂ€ngigen Vektor hinzufĂŒgen können.
Lass uns einen beliebigen Vektor (x,y,z) hinzufĂŒgen. Wir wollen nun zeigen, dass er wenn er zum Untervektorraum gehört, nicht linear unabhĂ€ngig von den beiden anderen Vektoren ist. Damit der Vektor zum Untervektorraum gehört, muss x = 3y - 4z gelten. Unser Vektor lautet also (3y - 4z, y, z).
Die Frage ist also: besitzt das Gleichungssystem
$$a \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3y-4z \\ y \\ z\end{pmatrix} $$
fĂŒr irgendein (y,z) keine Lösung?
Die Antwort ist "Nein", denn die Lösung lĂ€sst sich fĂŒr beliebiges y und z direkt angeben:
$$a = y - 4\frac{z}{3}, \quad b =\frac{z}{3}$$
Also handelt es sich bei den beiden Vektoren um die maximale linear unabhÀngige Menge von Vektoren in diesem Untervektorraum, sie bilden also eine Basis.