Bestimme das Integral ∫ 1/(sin(x)·cos(x)) dx

Question

Bestimme das Integral

$$ \int { \frac { 1 }{ sin(x)\cdot cos(x) } dx }  $$

mit der Substitution u = cos(x)

Answer 1

Hi,

u = cos(x)   ---> du = -sin(x) dx

$$\int \frac{1}{\sin(x)\cdot u}\cdot\frac{du}{-\sin(x)} = -\int \frac{1}{\sin(x)^2\cdot u} \ du $$

$$-\int\frac{1}{(1-\cos(x)^2)\cdot u}\ du = -\int \frac{1}{u-u^3} \ du = -\ln(u)+\frac12\ln(1-u^2) +c $$

$$ -\ln(\cos(x))+\frac12\ln(1-\cos(x)^2)+c  = -\ln(\cos(x))+\ln(\sin(x)) + c$$

Grüße

Comments

Beste Antwort. Aber warum hast du den letzten Schritt nicht mehr gemacht?

$$ -\ln(\cos(x))+\ln(\sin(x)) + C = \ln(\tan(x)) + C $$

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Ich wollte Dir selbst noch etwas lassen ;).


Den \(\ln(\tan(x))\) hätte man übrigens schneller und einfacher über die Substitution u = tan(x) erhalten. Zumindest solange man keine Probleme mit der Ableitung vom tan selbst hat.

Answer 2

ich habe eine Frage zur Antwort oben. Ich kann nicht ganz nachvollziehen wie man auf das Zwischenergebnis: −ln(u)+1/2ln(1−u^2)+c kommt. Denn ich hätte wie folgt integriert: -ln(u-u^3)+1/2(1-u^2)+c Wo ist mein Denkfehler??

Comments

Ich würde eine Partialbruchzerlegzung vorschlagen

∫ (- 1/(u - u^3)) du

= ∫ (1/(u^3 - u)) du

= ∫ (1/2·1/(u - 1) + 1/2·1/(u + 1) - 1/u) du

= 1/2·ln(u - 1) + 1/2·ln(u + 1) - ln(u)

= 1/2·(ln(u - 1) + ln(u + 1)) - ln(u)

= 1/2·ln(u^2 - 1) - ln(u)

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Achso okay. Danke dir :)

Answer 3

Das ist doch nicht wirklich schwer ....  Mehrmals substituieren und es löst sich ganz leicht auf.

Comments

Warum mehrmals substituieren? Man braucht nur einmal substituieren.

Und am Ende einmal wieder Resubstituieren.