Basiswechsel, Matrix bestimmen

Question

Ich habe eine Frage bezüglich dieser Aufgabe:

Ich bin schon etwas verwirrt was die Aufgabenstellung angeht.

$$ Soll~ich~hierbei~M^{K}_K (P_{a,b})~und~M^{A}_A (P_{a,b})~oder~nur~M^{K}_A (P_{a,b})~bestimmen?$$

Ich gehe mal stark von Letzterem aus. Wenn dem so ist, wie würde ich etwas derartiges angehen?

Grüße,

planlos

Comments

Ich gehe mal stark von Letzterem aus.

Ich nicht.

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Hmm, okay. Dann hat mich wohl der Titel der Übungsaufgabe auf die falsche Fährte geführt.

Answer 1

So schlecht ist der gar nicht. Schreib erst mal \(M_{\mathcal A}^{\mathcal A}(P)\) hin. Und dann machst Du eben zwei Basiswechsel, um \(M_{\mathcal K}^{\mathcal K}(P)\) zu bekommen.

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Achsoo, okay. Da hatte ich dann wohl doch die Aufgabe etwas missverstanden, jedenfalls vom Ansatz her. Sobald ich zu Hause bin setzt ich mich an die Aufgabe.

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Ich habe die Matrix $$ M^A_A(P)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}  $$


Wie führe ich nun hier einen Basiswechsel durch? Dazu müsste ich doch erstmal die Matrix $$ M^A_K (1_v) ~bilden~und~dazu~bräuchte~ich~doch~(e_1)_A $$ Habe ich hier irgendetwas aus meinem Skript falsch verstanden und wie gehe ich weiter vor?

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\(\mathcal{A}=(a,b)\) ist gegeben. Das sind die Buchstaben mit denen Du Dein Ergebnis ausdruecken kannst. Es ist  \((e_1)_{\mathcal A}=\mathcal{A}^{-1}e_1\), wenn man \(\mathcal A\) als Matrix interpretiert.

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Also müsste ich nun erstmal A^-1 bestimmen.  Damit würde ich dann auf (e₁)_A und (e₂)_{A kommen. Diese 2 Koordinatenvektoren wären dann meine Matrix $$M_K^A (1_v)~von~dieser~Matrix~bilde~ich~dann~die~Inverse~M_A^K (1_v)~und~benutze~dann$$}

_{$$ M_K^K (P)= M_A^K (1_v)* M_A^A (P) *M_K^A (1_v) $$}

Könnte ich so letztendlich die Aufgabe lösen oder habe ich irgendeinen Schritt missverstanden?

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Das hast Du ganz richtig verstanden. Allerdings solltest Du Dir mal ueberlegen, was rauskommt, wenn man eine Matrix mit dem i-ten Einheitsvektor multipliziert.

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Dann bekomme ich die i-te Spalte der Matrix als neuer Vektor. Ich weiß ehrlich gesagt gerade nicht worauf du hinaus möchtest ^^

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Also müsste ich nun erstmal A^-1 bestimmen.  Damit würde ich dann auf (e₁)_A und (e₂)_A kommen. Diese 2 Koordinatenvektoren wären dann meine Matrix M^A_K(1_v)

Der Kerl, der das geschrieben hat, scheint das nicht gewusst zu haben.

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Der Kerl ist halt auch doof ;)

Ich habe nun meine Matrix

$$ M_K^A(1_v)= \begin{pmatrix} \frac{b_2}{z}  & \frac{-b_1}{z}  \\ \frac{-a_2}{z}  & \frac{a_1}{z}  \end{pmatrix}  ~wobei~z:= b_2 * a_1-b_1 * a_2 $$

und demnach ist die Inverse die Basis A als Matrix, also

$$M_K^A(1_v) =\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2  \end{pmatrix}  $$

Ich wollte nur noch wissen, ob es soweit stimmt. Ich denke die Matrixmultiplikation traue ich mir dann selber zu.

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Ach, was solls. Hier ist auch noch mein End-Ergebnis:

$$ M^K_K (P)= \begin{pmatrix} \frac{b_2 * a_1}{z}  & \frac{-b_1 * a_1}{z}  \\ \frac{a_2 *b_2}{z}  & \frac{-a_2 * b_1}{z}    \end{pmatrix}  $$

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Ja, sieht doch gut aus.

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Alles klar, vielen Dank für deine kompetente Hilfe! :)