Funktionsgrenzwerte bestimmen für x -> Unendlich

Question

ich habe folgenden Funktionsgrenzwerte

lim                       (sqrt(x⁴+2x))/(3x²+x)) (Wäre Unendlich durch Unendlich) so mit wende ich l' Hospital an
x-> Unendlich

Habe nun lim für x-> Unendlich (1/2 * (x⁴+2x)^-1/2 * 4x³+2) / (6x+1)

Stell ein bisschen um und erhalte

lim für x -> Unendlich (2x³ + 1) / ((6x+1) * (x⁴+2x)^1/2) = lim für x -> Unendlich 3x² / (x⁴+2x)^1/2

Jetzt habe ich wieder Unendlich / Unendlich, wende die selbe Regel nochmal an und erhalte

(6x * (x⁴+2x)^1/2) / (2x³ + 1)

Aber ich komme zu keinem Schluss mache ich was falsch?

Als Lösung sollte 1/3 raus kommen. Würde mich sehr über eine Antwort freuen.

Comments

Ein Fehler besteht darin, dass

(2x³ + 1) / (6x+1) ≠ 3x² ist.

Das ändert aber nichts an dem Umstand, dass der Quotient nach wiederholtem Anwenden der Regel von l'Hospital eher komplizierter als einfacher wird und es nicht abzusehen ist, ob da mal etwas konvergiert.

Einfacher geht es hier so (in leichter Abwandlung der Rechnung von hallo97):

$$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^4+2x}}{3x^2+x} = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^4\cdot\left(1+\dfrac{2}{x^3}\right)}}{x^2\cdot\left(3+\dfrac 1x\right)} = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2\cdot\sqrt{1+\dfrac{2}{x^3}}}{x^2\left(3+\dfrac 1x\right)} = \dfrac{\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt{1+\dfrac{2}{x^3}}}{\lim\limits_{x\to\infty}\left(3+\dfrac 1x\right)} = \dfrac 13.$$Dabei werden im Zähler wie im Nenner die höchsten Potenzen ausgeklammert und herausgekürzt.

Answer 1

Ich habe einfach durch x² geteilt und dann etwas umschrieben, sodass man es schnell sieht.

$$ \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x^4+2x}}{3x^2+x}= \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{\sqrt{x^4+2x}}{x^2}}{\frac{3x^2+x}{x^2}}=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{\frac{x^4+2x}{x^4}}}{3+\frac{1}{x}}\\=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^3}}}{3+\frac{1}{x}}=\frac{1}{3}$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort: :)

Hast du mir einen Tipp wie ich auf sowas kommen könnte? Oder woher weißt du warum man mit x² teilen muss?

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Also ich teile einfach alles durch x², weil man damit zum einen im Nenner den quadratischen Term rauskürzen kann. Zum anderen wende ich für den Zähler Wurzelgesetze an, und quadriere x², um es dann unter die Wurzel zu ziehen. Dort kürze ich dann auch. Wann man durch welche Potenz teilt, hängt eben davon ab, was es für Potenzen gibt. Hätte da zum Beispiel im Zähler keine Wurzel gestanden, hätte ich durch x⁴ geteilt. Weil aber die Wurzel vorkam, habe ich ebem nur durch x² geteilt, weil ja x⁴ im Zählerasudruck enthalten war.

Answer 2

Man kann auch für
lim x −> ∞ [   √(x⁴+2x) / (3x²+x) ]
argumentieren : die einfachen Potenzen von x
spielen dann keine Rolle mehr und können entfallen.
lim x −> ∞ [  √x⁴ / (3x²) ]
lim x −> ∞ [  x² / (3x²) ] = 1/3

Answer 3

Rechenregeln für Grenzwerte: Wenn lim_x→∞ f(x) und lim_x→∞ g(x) existieren, dann existiert auch lim_x→∞ (f(x)·g(x)) und es gilt

        lim_x→∞ (f(x)·g(x)) = lim_x→∞ f(x) · lim_x→∞ g(x).

Bestimme also

        lim_x→∞ (√(x⁴+2x))/(3x²+x))².