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Durch die Funktion
f (x,y) = 4 – x2 – y2
wird ein Paraboloid beschrieben. Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten ergibt sich das Volumen dieses Parabo- loiden oberhalb der XY-Ebene wie folgt: die Integrationsgrenzen ergeben sich durch
0 ≤ φ ≤ 2 ⋅π ,
0≤ ρ≤ 2
Die z-Koordinate, d.h. die Höhe der Begrenzungsfläche, ist von x und y abgängig.

Weiß jemand wie diese Aufgabe funktioniert?

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1 Antwort

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Hallo

 erstmal Zylinderkoordinaten:

x=r*cos(φ)

y=r*sin(φ)

z=z  oder z=h

aus den Definitionen für x und y folgt: x^2+y^2=r^2*(cos^2(φ)+sin^2(φ))=r^2

damit ist f(r,φ)=4-r^2

für f(x,y)=z  hat man dann z=4-r^2 z.B in der z=0 Ebene 4-r^2=0 r^2=4 r=2 also einen Kreis mit Radius 2.

für andere kleinere z immer größere Kreise. Wenn du das Gebilde mit der Ebene y=0 schneidest hast du z=4-x^2 also eine Parabel, daher der Name Paraboloid.

wenn du das Volumen zwischen Scheitel  z=0 und z=2, entspricht r=2 und r=0 berechnest

0^{2π} ∫0^2 f(r,φ) r*dφdr zu berechnen

in ZylinderKoordinaten ist das Flächenelemet dA=r*dφdr

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Hast du sehr schön erklärt, mal eine Frage hätte man die Aufgabe auch über einen Dreifachintegral lösen können? Sofern ich jetzt auch richtig integriert habe müsste doch 4π^2 ?

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