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Es seien (G, ⊗) eine beliebige Gruppe und H, I, J Untergruppen mit H ⊆ I ∪J.

 Zeigen Sie, dass
dann H ⊆ I oder H ⊆ J gilt.


Kann jmand für mich das lösen, da ich es gelöst habe, aber ich bin nicht sicher, ob es richtig oder falsch ist

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Vielleicht hast du es so ?

Seien H, I, J Untergruppen mit H ⊆ I ∪J.

und H ⊄ I .  (Das soll zugleich auch H≠I bedeuten,

aber das Zeichen für (nicht ⊆ ) finde ich grad nicht.)

==>  ∃x∈H  und  x∉I.

Wegen H ⊆ I ∪J  ist also   x∈J.

Dann ist zu zeigen:    H ⊆ J  .   Das geht wohl so:

Sei y∈H  .  ==>    x ⊗ y ∈H    weil H Untergruppe.

                ==>   x ⊗ y ∈  I ∪J

==>   x ⊗ y ∈  I      oder    x ⊗ y ∈  J

Das erste kann nicht sein; denn dann wäre

( x ⊗ y  ) ⊗ y^{-1}  =  x ⊗ ( y   ⊗ y^{-1} ´) =  x

in I im Widerspruch zur Annahme  x∉I.

Also gilt x ⊗ y ∈  J  und weil J eine

 Untergruppe ist, die x enthält , enthält sie auch

  x^{-1}  ⊗ (  x ⊗ y )  =  y .

Also ist jedes y∈H   auch in J enthalten und damit

 H ⊆ J .

Entsprechend erhältst du aus der Annahme:

Seien H, I, J Untergruppen mit H ⊆ I ∪J.und

H ⊄ J .  (Das soll zugleich auch H≠J bedeuten,aber das

Zeichen für (nicht ⊆ ) finde ich grad nicht.)

Dann auch H ⊆ I .    Kurz:

Wenn H nicht vollständig  in der einen Untergruppe

liegt, dann jedenfalls vollständig in der anderen.

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