Quotientenkriterium liefert
ai+1/ai = ( 2(i+1)! / (2i+2)! ) / ( 2i! / (2i)! )
= ( 2(i+1)! *(2i)! ) / ( (2i+2)! ) * 2i! )
nun ist 2(i+1)! / ( 2i! ) aber nur i+1 , alles andere kürzt sich weg.
also = (i+1) * (2i) ! / (2i+2)!
wieder kürzen gibt
= (i+1) / ( (2i+1) (2i+2) )
und noch mal
= 1 / ( (2i+1) *2 )
und das ist immer kleiner als 1/2, also Reihe konvergent.