Die Grundfrage ist hier, welchen Grundbereich man zulässt und wie man Wurzel definiert. Und in C geht das gar nicht eindeutig ohne, dass Widersprüche entstehen.
Die übliche Definition von Wurzel geht vom Quadrieren aus:
x = √ m genau dann, wenn x^2 = m
Selbst wenn nicht ausgeschlossen ist, dass x negativ ist, ist x^2 immer grösser oder gleich 0 und m kann gar nicht negativ sein.
Wenn m eine beliebige reelle Zahl sein kann, hat sie einfach innerhalb von IR keine Wurzel.
Daher
x= √p ergibt doch R oder?
Das stimmt nur, wenn man voraussetzt, dass p eine nichtnegative reelle Zahl ist.
und warum ergibt x=√x aber C?
quadriere die Gleichung.
x^2 = x |falls x ≥ 0
x^2 - x = 0
x(x-1) = 0
-----> x1 = 0, x2 = 1
x^2 = -x |falls x < 0
x^2 + x = 0
x(x+1) = 0
-----> (x1 = 0), x2 = -1. x1 = 0 ist ausgeschlossen durch das 'falls'. Aber x = -1 wäre auch eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.
Hier sieht es so aus, wie wenn man nicht auf IR rauskommen würde. Allerdings haben wir oben schon gesehen, dass man im Fall x<0 mit √x in der Ursprungsgleichung schon aus IR rauskommt. Gleichzeitig kommt man so auf einen Widerspruch. Denn:
Konkret haben wir jetzt: (-1) = √(-1)
und das würde heissen nach unserer Wurzeldefinition, dass (-1)^2 = (-1). Also 1 = -1, was im Widerspruch zur in R üblichen Auffassung von Gleichheit steht.