In welchem Zahlenbereich liegt es? x= √p ergibt doch R oder? und warum ergibt x=√x aber C?

Question

x= √p    ergibt doch R oder?

und warum ergibt x=√x  aber C?

Also das mit Reelle Zahl verstehe ich, aber warum soll das mit x dann eine komplexe Zahl sein?

Comments

Du müsstest erst einmal genau definieren aus welchen Bereichen die jeweiligen Parameter / Variabeln stammen sollen.

Answer 1

√ p ergibt sicher nicht sämtliche reellen Zahlen :-)

Ob dieser Ausdruck eine reelle oder ein komplexe oder vielleicht sogar eine natürliche Zahl ergibt hängt einzig und allein von p ab.

Ist p eine nichtnegative reelle Zahl, dann ist √ eine eindeutig bestimmte reelle Zahl.

Ist p sogar eine Quadratzahl, dann ist √ p sogar eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl.

Ist p hingegen eine negative reelle oder gar eine komplexe Zahl, dann hat  √ p zwei komplexe Lösungen.

Comments

super vielen dank :)

wie ist es aber hier:


3p-q/3 ergibt Q
(xp-2px) / x ergibt Z


wieso gibt das zweite nicht auch Q bzw. das Obere nicht Z? in beiden ist ein Bruch und in beiden ein p ..

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Aus welchem Zahlenbereich sind denn p und q?

3 p - q / 3 bzw. ( 3 p - q ) / 3 (je nachdem, was du gemeint hast)

ist im Allgemeinen nur dann eine rationale Zahl (also aus Q), wenn p und q selber rationale Zahlen sind (beachte: Auch ganze Zahlen sind rationale Zahlen).

Sind hingegen p oder q (oder beide) irrational (also reelle Zahlen, die nicht rational sind), dann sind im Allgemeinen sowohl 3 p - q / 3 als auch  ( 3 p - q ) / 3 ebenfalls irrationale Zahlen.

Ausnahmen:
Wenn bei 3 p - q / 3 die Zahl q das Neunfache der Zahl p ist bzw. bei ( 3 p - q ) / 3 q die Zahl q das Dreifache der Zahl p ist, dann haben beide Ausdrücke, auch wenn p und q irrational sind, den Wert Null und sind somit rationale, sogar ganze Zahlen.

( x p - 2 p x ) / x

kann man kürzen zu

= p - 2 p

= - p
Wenn also p eine ganze Zahl ist, dann ist auch ( xp - 2px ) / x  eine ganze Zahl.

Wenn aber p keine ganze Zahl ist, dann ist auch ( xp - 2 p x ) / x keine ganze Zahl.

Du siehst also: Für die Antwort kommt es ganz entscheidend darauf an, aus welchen Zahlenbereichen p und q sind.

Answer 2

Die Grundfrage ist hier, welchen Grundbereich man zulässt und wie man Wurzel definiert. Und in C geht das gar nicht eindeutig ohne, dass Widersprüche entstehen.

Die übliche Definition von Wurzel geht vom Quadrieren aus:

x = √ m genau dann, wenn x^2 = m

Selbst wenn nicht ausgeschlossen ist, dass x negativ ist, ist x^2 immer grösser oder gleich 0 und m kann gar nicht negativ sein.

Wenn m eine beliebige reelle Zahl sein kann, hat sie einfach innerhalb von IR keine Wurzel.

Daher

x= √p    ergibt doch R oder?

Das stimmt nur, wenn man voraussetzt, dass p eine nichtnegative reelle Zahl ist.

und warum ergibt x=√x  aber C?

quadriere die Gleichung.

x^2 = x               |falls x ≥ 0

x^2 - x = 0

x(x-1) = 0

-----> x₁ = 0, x₂ = 1

 

x^2 = -x               |falls x < 0

x^2 + x = 0

x(x+1) = 0

-----> (x₁ = 0), x₂ = -1. x₁ = 0 ist ausgeschlossen durch das 'falls'. Aber x = -1 wäre auch eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Hier sieht es so aus, wie wenn man nicht auf IR rauskommen würde. Allerdings haben wir oben schon gesehen, dass man im Fall x<0 mit √x in der Ursprungsgleichung schon aus IR rauskommt. Gleichzeitig kommt man so auf einen Widerspruch. Denn:

Konkret haben wir jetzt: (-1) = √(-1)

und das würde heissen nach unserer Wurzeldefinition, dass (-1)^2 = (-1). Also 1 = -1, was im Widerspruch zur in R üblichen Auffassung von Gleichheit steht.