Restklassenring - Frage

Question

Hallo Community,

ich habe folgende Frage. Ich muss viel mit Restklassen rechnen, z.B. beim euklidischen Algorithmus und weiß, dass beispielsweise im F2 -1 = 1 oder beispielsweise -1 in R 6 in F7 entspricht. Leider kommt mir das alles noch etwas abstrakt vor. Kann mir vielleicht jemand erklären, wie man da vorgehen muss? 

Was wäre denn bspw. -3 in F2 -> 1? Oder -3 in F7 -> 4?

Und kann mir jemand kurz sagen was das multiplikative Element bpsw. in F5 ist? In F2 gibt es scheinbar keins für die 2, das verstehe ich auch nicht so ganz..

VIelen Dank vorab!

Answer 1

Restklassen modulo m werden durch jedes ihrer jeweiligen Elemente repräsentiiert. Am besten durch das kleinste positive Element. Zu einem negativen Element addiert man so oft den Modul m, bis eine positive Zahl entsteht. Diese ist das kleinste positive Element.

Answer 2

Was wäre denn bspw. -3 in F2

In F₂ ist [-3] = [1] weil -3 = 1 + n·2 für ein n∈ℤ ist (nämlich für n=-2).

Oder -3 in F7 -> 4?

Ja, weil -3 = 4 + -1·7.

Und kann mir jemand kurz sagen was das multiplikative Element bpsw. in F5 ist?

Ich vermute du meinst multiplikativ inverses Element. Dazu gibt es 5 Möglichkeiten. Überprüfe jedes einzelne.

In F2 gibt es scheinbar keins für die 2

F2 ist ein Körper, weil 2 eine Primzahl ist. Für welche Zahlen gibt es in einem Körper kein multiplikativ Inverses?