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Aufgabe:

Nullstellen der Funktion f(x)=8x^3 -2x+5 berechnen


Problem/Ansatz:

Man kann diese Funktion nicht in die Normalform bringen, um eine pq-Formel zu benutzen

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Aus welchem Stoffzusammenhang stammt denn die Aufgabe? Im allgemeinen wird man wohl einen Taschenrechner benutzen, der so etwas – numerisch oder algebraisch – kann. Hier meine Nullstelle: $$x = -\dfrac{\sqrt[3\:]{90-2\cdot\sqrt{2013}}+\sqrt[3\:]{90+2\cdot\sqrt{2013}}}{\sqrt[3\:]{288}}$$

meine Nullstelle

Du materialistischer Hedonist! :-D

3 Antworten

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Beste Antwort

prinzipiell würde ich dir die Polynomdivision empfehlen. Da du allerdings nur eine Nullstelle hast, die auch noch irrational ist, so würde ich z.B. zum  Newtonverfahren greifen, um sie numerisch zu approximieren.

Avatar von 13 k
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du kommst ohne numiersches Verfahren mit Vieta aus. Dividiere durch \(\div 8\) und erhalte \(x^3-0.25x+0.625=0\) Substituiere \(x:=w-\frac{p}{3w}\).Daraus folgt:$$w^3-\frac{(-0.25)^3}{27w^3}+0.625=0 \quad |\cdot w^3$$$$w^6+0.625w^3+\frac{1}{1728}=0$$ Substituiere \(w^3:=u\) und erhalte:$$u^2+0.625u+\frac{1}{1728}=0$$ Löse folgende Gleichung vermöge der pq-Formel und resubsubstituiere zwei Mal.

Avatar von 28 k

Statt durch 8 zu teilen, kann man hier auch die Substitution z:=2x vorschalten und dann das übersichtlichere Polynom z^3-z+5 betrachten.

Wir denken nur, wenn wir mit Problemen konfrontiert werden! Einfacher ist es aber in der Tat.

Ich geb mal einen Daumen. Könntest du der Vollständigkeit halber noch einen Namen dieses Lösungsverfahrens nachreichen?

Die Cardanischen Formeln kannte ich und ich kannte auch die andere Substitution. Nur ich kannte den Namen nicht und bei Wikipedia hatte ich das nicht gefunden. Vielleicht sollte da mal jemand einen Artikel schreiben.

+1 Daumen

Benutze ein Näherungsverfahren.

Es gibt keine ganzzahligen Nullstellen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=8x3+-2x%2B5%3D0


PS:

Alternativ: Cardano-Formel

Avatar von 81 k 🚀

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