Antwort mit KI erzeugt
Lösung der Aufgabe
Um das Problem anzugehen, verwenden wir einen systematischen Ansatz, der die Anforderung berücksichtigt, dass zwischen je zwei Personen mindestens ein freier Platz vorhanden sein muss.
Zur Vereinfachung betrachten wir zunächst die sechs Personen als Blöcke, die in der Reihenfolge platziert werden sollen. Jeder "Personen-Block" benötigt einen zusätzlichen Platz rechts von sich, um die Bedingung des mindestens einen freien Platzes zu erfüllen. Für die letzte Person in der Reihe ist dieser zusätzliche freie Platz nicht notwendig, denn nach ihr muss nicht zwingend ein freier Platz folgen, sofern sie die letzte am Rand ist.
Das bedeutet, dass jede der ersten fünf Personen effektiv zwei Plätze beansprucht (einen für die Person selbst und einen zusätzlich als Puffer), und die sechste Person beansprucht nur einen Platz. Somit:
- Die ersten fünf Personen beanspruchen \(5 \times 2 = 10\) Plätze.
- Die sechste Person beansprucht \(1\) Platz.
Damit sind insgesamt \(10 + 1 = 11\) Plätze durch Personen unmittelbar belegt. Da wir insgesamt 20 Plätze haben, bleiben \(20 - 11 = 9\) Plätze, die frei verteilt werden können.
Es ist wichtig zu beachten, dass diese freien Plätze nicht willkürlich verteilt werden können, da zwischen zwei Personen mindestens ein Platz frei bleiben muss. Die freien Plätze können jedoch an den Anfang, das Ende der Reihe oder zwischen zwei Personen-Blöcken platziert werden. Um dies als ein kombinatorisches Problem zu modellieren, können wir die initialen und finalen Positionen der Personen, inklusive der Pufferplätze, als Divider betrachten, die die freien Plätze trennen.
Da wir 6 Personen haben, die platziert werden sollen, haben wir 7 Zwischenräume (einschließlich der Ränder am Anfang und am Ende), in denen die 9 freien Plätze verteilt werden können. Das Problem kann nun als ein Problem des Verteilens von n identischen Objekten auf k Boxen behandelt werden, wobei die Reihenfolge, in der die Objekte verteilt werden, keine Rolle spielt. Die Anzahl der Möglichkeiten kann mit der Formel für Kombinationen mit Wiederholung berechnet werden:
\(
\text{Kombinationen mit Wiederholung} = \binom{n + k - 1}{k}
\)
Wobei \(n\) die Anzahl der zu verteilenden identischen Objekte (hier die freien Plätze) und \(k\) die Anzahl der Boxen (hier die Zwischenräume zwischen den Personen) ist. Setze \(n=9\) und \(k=7\):
\(
\binom{n + k - 1}{k} = \binom{9 + 7 - 1}{7} = \binom{15}{7}
\)
Die Formel für Kombinationen (ohne Wiederholung) ist:
\(
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\)
Setzen wir die Werte ein:
\(
\binom{15}{7} = \frac{15!}{7!(15-7)!} = \frac{15!}{7!8!}
\)
Berechnung:
\(
\frac{15!}{7!\times8!} = \frac{5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5}
\)
Vereinfachen:
\(
= \frac{11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15}{120} = 11 \times 13 \times 14 \times 15
\)
\(
= 3003
\)
Also gibt es \(3003\) verschiedene Möglichkeiten, die 6 Personen auf den 20 Stühlen zu verteilen, unter Einhaltung der Bedingung, dass zwischen je zwei Personen mindestens ein freier Platz sein muss.
