Aufgabe:
Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n, \(\displaystyle v\in V\) und \(\displaystyle f:V\rightarrow V\) ein Endomorphismus. Zeigen Sie:
Es gilt \(\displaystyle m_{f,v}(x)=m_{f|_U}(x)\), wobei U das Erzeugnis der Vektoren \(\displaystyle f^i(v), i=0,1,2,...\) ist.
Problem/Ansatz: Lineare Algebra 2 Lehramt
\(\displaystyle U=<v,f(v),...,f^n(v)>\)
\(\displaystyle (m_{f,v})=\{p(x)\in K[x]:p(f)(v)=0\}=\{p(x)\in K[x]:\lambda_0v+\lambda_1f(v)+...+\lambda_nf^n(v)=0\}\)
\(\displaystyle f|_U:U\rightarrow V\)
Was ist das erzeugte Ideal von \(\displaystyle m_{f|_U}\)? Dann müsste nur noch gezeigt werden, dass beide Ideale gleich sind und dann sind die Minimalpolynome auch gleich.
