Beweis: cos(-z)=cos(z) über Definitionen zulässig?

Question

Ich soll \(\cos(z)=\cos(-z)\) für \(z\in \mathbb{C}\) beweisen. Wir haben \(\cos(z):=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})\). Geht dann nicht einfach:$$\cos(z):=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})=\frac{1}{2}(e^{-iz}+e^{iz})=\cos(-z) \quad \Box$$ Das fühlt sich aber irgendwie nicht gut an, weil die Aufgabe mit 2 Punkten bewertet ist... Wäre das nicht zu leicht?

Comments

Ich würde mir eher Sorgen machen, wenn es mehr als zwei Punkte für diese Aufgabe gäbe. Einen für die Definition und einen für die (triviale) Umformung macht schon Sinn ;)

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Zugegeben, mann soll cos(-z)=cos(z), sin(-z)=-sin(z), cosh(z)=cosh(-z) und sinh(z)=-sinh(z) beweisen.

Answer 1

\(\cos(z):=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})=\frac{1}{2}(e^{-iz}+e^{iz})=\cos(-z) \quad \Box\)

Wenn dir das als zu wenig Aufwand erscheint, dann kannst du es auch nohc etwas ausführlicher machen:

        \(\cos(z):=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})=\frac{1}{2}(e^{-iz}+e^{iz})= \frac{1}{2}(e^{i\cdot(-z)}+e^{i\cdot(-(-z))}) = \cos(-z) \quad \Box\)

Comments

Hmm ok...! :o