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Aufgabe:

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Definitions für die Konvergenz einer Folge, dass die Folge
$$ \left(\frac{1}{2 n+1}\right) $$
gegen Null konvergiert. Ab welchem Index sind die Folgenglieder kleiner als
$$ \varepsilon:=10^{-2} ? $$
b) Entscheiden Sie, ob die folgenden Folgen konvergieren. Beweisen Sie dies und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte:
$$ \begin{array}{l} {\left(a_{n}\right) \text { i= }\left(\sin \frac{2 n \pi}{5}\right)} \\ {\left(b_{n}\right) \text { i= }\left(\frac{n^{10}}{n^{8}-\sin (n)}\right)} \end{array} $$
\( \left(c_{n}\right)=\left(\frac{-n^{4}+n-1}{n^{4}+2 n-2}\right) \)
\( \left(d_{n}\right) \quad:=(\sqrt{n^{4}+n^{2}-1}-\sqrt{n^{4}+1}) \)

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Hi,

a)

$$\lim \frac{1}{2n+1} = \lim\frac{\frac1n}{2+\frac1n} = 0$$

Da der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen 2.

 

Das Epsilon ist nur stur Formel anwenden. Schlage sie nach ;).

 

b)

an - Keine Konvergenz, da mehr als einen Häufungspunkt (wir schwanken ja zwischen -1 und 1)

 

bn - Keine Konvergenz. Sinus kann man vernachlässigen, da ja nur im Bereich von -1 bis 1. n10 ist stärker als n8

 

cn - Man betrachte nur die höchste Potenz, da der Rest eh irrelevant ist (alternativ wie bei a) einfach durch n^4 dividieren).

Es verbleibt: \(\lim \frac{-n^4}{n^4} = -1\), was der Grenzwert ist

 

dn - Erweitere mit der dritten binomischen Formel

$$\lim \frac{n^4+n^2-1-(n^4+1)}{\sqrt{n^4+n^2-1}+\sqrt{n^4+1}} $$

Vereinfachen (im Nenner ignorieren von n^2-1 und 1)

$$\lim \frac{n^2-2}{2\sqrt{n^4}} = \lim \frac{n^2-2}{2n^2} = \frac12$$

 

Grüße

Avatar von 141 k 🚀
Ich versteh das mit dem Epsilon nicht, was meinst du mit stur formal anwenden :/ ?
Wenn ich das richtig verstanden habe, musst du nur die Folge, den Grenzwert und Epsilon in die Betragsungleichung aus der Definition einsetzen und diese nach n umstellen, um den Startindex zu erhalten.

Na bestimme |an+1-an|<10^{-2}

 

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt man auf n = 6,089, man hat also mit n = 7 das erste Folgeglied das obige Forderung erfüllt ;).

Warum |an+1-an|? laut Definition muss doch der Grenzwert in unserem Fall 0 abgezogen werden

Wieso kann man denn n^2-1 und 1 ignorieren?

Und wieso ist n^2 -2/ 2n^2 = 1/2 ? n^2/2n^2 ist 1/2 ist klar,aber wo fällt die -2 hin?
Nun, wenn n gegen unendlich strebt, dann sind die kleinen Beiträge irrelevant. Ob Du jetzt unendlich oder unendlich -2 hast, ist nun wirklich egal. Das klappt auch bei n^4+n^2-1, die beiden letzteren Summanden sind zu klein, als dass sie relevant wären.
0 Daumen

Nur mal zu a) und Epsilon

1/(2n+1) < 1/100

100 < 2n+1

99 < 2n

49.5 < n

Ab n = 50 ist |an - a| < €

Avatar von 162 k 🚀
Was ist denn jetzt richtig...das von dir oder von unknown x.x?
Unknown arbeitet mE mit dem Cauchykriterium ich mit der Definition von Grenzwert. Vom Cauchykriterium kann ich aber in der Aufgabenstellung nichts erkennen.
Das höre Ich auch zum ersten mal um ehrlich zu sein
99<2n  |:2
<=>49,5<n

kleiner Rechenfehler
Ups, hab tatsächlich mit Cauchy gerechnet ;).

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