Aloha :)
Man kann 5 Punkte ablesen: \((0|1), (1|2), (2|1), (3|1), (4|3,5)\). Daher gehen wir von einem Polynom 4-ter Ordnung aus:
Aus dem Punkt \((0|1)\) folgt, dass die Funktion um 1 LE nach oben verschoben ist. Bis auf ein Polynom \(p(x)\) sieht die Funktion also so aus:$$f(x)=p(x)\cdot x+1$$Der Faktor \(x\) garantiert, dass \(f(0)=1\) ist. Von \(p(x)\) wissen wir aus den Punkten \((2|1)\) und \((3|1)\), dass es Nullstellen bei \(2\) und bei \(3\) haben muss, denn wenn \(p(2)=0\) und \(p(3)=0\) gilt, ist \(f(2)=1\) und \(f(3)=1\). Das macht \(f(x)\) noch etwas bekannter:
$$f(x)=q(x)\cdot(x-2)(x-3)x+1$$Jetzt haben wir noch die beiden Punkte \((1|2), (4|3,5)\) übrig, um das verbliebene Polynom \(q(x)\) zu bestimmen. Für diese 2 Punkte können wir 2 Unbekannte \(a\) und \(b\) veranschlagen, sodass \(q(x)=ax+b\) sein muss.
$$f(x)=(ax+b)(x-2)(x-3)x+1$$Wir setzen die beiden Punkte ein, um Bedingungen für \(a\) und \(b\) zu erhalten:
$$2=f(1)=(a+b)(-1)(-2)1+1=2(a+b)+1\quad\Leftrightarrow\quad a+b=\frac{1}{2}$$$$\frac{7}{2}=f(4)=(4a+b)(2)(1)4+1=8(4a+b)+1\quad\Leftrightarrow\quad4a+b=\frac{5}{16}$$Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten:$$(4a+b)-(a+b)=\frac{5}{16}-\frac{1}{2}\;\;\Leftrightarrow\;\;3a=-\frac{3}{16}\;\;\Leftrightarrow\;\;a=-\frac{1}{16}$$$$b=\frac{1}{2}-a=\frac{8}{16}-\left(-\frac{1}{16}\right)=\frac{9}{16}$$Damit haben wir die Gesuchte gefunden:
$$f(x)=\left(-\frac{1}{16}x+\frac{9}{16}\right)(x-2)(x-3)x+1$$$$f(x)=\frac{1}{16}(9-x)(x-2)(x-3)x+1$$
~plot~ 1/16*(9-x)*(x-2)*(x-3)*x+1 ~plot~
