Für alle natürlichen Zahlen n≥5 gilt
n^2 < 2^n
Beweisen sie diese Behauptung mit der vollständigen Induktion.
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Bis jetzt habe ich :
ISV : n*2 < 2*n
ISF : (n+1)*2 < 2* n+1
Und dann,
(n+1)*2 = n*2 + 2n+1 > ...?
Wie geht das nun weiter? Könnte mir eventuell jemand dabei?
Tipp: https://www.mathelounge.de/618706/vollstandige-induktion-zeige-die-ungleichung-2-fur-alle-5
Für den Induktionsanfang setze n=5 und zeige
5^2 = 25 < 32 = 2^5 .
Sei nun n eine nat. Zahl mit n^2 < 2^n
==> (n+1) ^2 = n^2 + 2n + 1 < 2^n + 2n + 1
und weil 2n+1 für n≥5 immer kleiner als 2^n ist
geht es weiter mit 2^n + 2n + 1 < 2^n + 2^n = 2^(n+1) . q.e.d.
Vielen Dank, hab’s jetzt verstanden :)
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