Antwort mit KI erzeugt
Problemstellung:
Sei \( V \) ein Vektorraum. Wir sollen zeigen, dass die Vektoren \( v_1, v_2, \ldots, v_n \in V \) genau dann linear unabhängig sind, wenn für jedes \( j \in \{1, 2, \ldots, k\} \) die echte Inklusion
\(
\langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle \subset \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle
\)
gilt. Das bedeutet, dass durch das Wegnehmen eines Vektors \( v_j \) die lineare Hülle \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \) immer echt kleiner wird.
Beweis:
(→) Notwendigkeit: Angenommen, \( v_1, v_2, \ldots, v_k \) sind linear unabhängig.
- Um zu zeigen, dass \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle \subsetneq \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \), nehmen wir an, dass dies für ein \( j \in \{1, 2, \ldots, k\} \) nicht der Fall ist und prüfen auf einen Widerspruch.
- Wenn \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle = \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \) gilt, könnte man \( v_j \) als lineare Kombination der anderen Vektoren ausdrücken:
\(
v_j = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_{j-1} v_{j-1} + \alpha_{j+1} v_{j+1} + \cdots + \alpha_k v_k
\)
- Dies verletzt die Annahme der linearen Unabhängigkeit von \( v_1, v_2, \ldots, v_k \), da mindestens ein \( \alpha_i \neq 0 \) sein muss, damit die Darstellung nicht trivial ist. Daher muss die echte Inklusion \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle \subsetneq \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \) gelten.
(←) Hinreichend: Angenommen, die echte Inklusion \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle \subsetneq \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \) gilt für jedes \( j \in \{1, 2, \ldots, k\} \).
- Um zu zeigen, dass \( v_1, v_2, \ldots, v_k \) linear unabhängig sind, nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist und suchen einen Widerspruch.
- Wenn \( v_1, v_2, \ldots, v_k \) linear abhängig sind, dann gibt es eine nicht-triviale lineare Kombination (nicht alle \(\alpha_i\) sind null) solcher Art:
\(
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_k v_k = 0
\)
- Nehmen wir ohne Verlust der Allgemeinheit an, dass \( \alpha_j \neq 0 \):
\(
v_j = -\frac{\alpha_1}{\alpha_j} v_1 - \frac{\alpha_2}{\alpha_j} v_2 - \cdots - \frac{\alpha_{j-1}}{\alpha_j} v_{j-1} - \frac{\alpha_{j+1}}{\alpha_j} v_{j+1} - \cdots - \frac{\alpha_k}{\alpha_j} v_k
\)
- Das bedeutet, dass \( v_j \) in der linearen Hülle der anderen Vektoren liegt, was im Widerspruch zu unserer Annahme einer echten Inklusion steht, da es bedeuten würde, dass \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle = \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \).
- Daher müssen die Vektoren \( v_1, v_2, \ldots, v_k \) linear unabhängig sein.
Schlussfolgerung: Die Vektoren \( v_1, v_2, \ldots, v_k \) sind genau dann linear unabhängig, wenn für jedes \( j \) die echte Inklusion \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle \subsetneq \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \) gilt.
