(i): f stetig in x0, also:
Zu jedem ε>0 ex. ein δ>0, so dass: If(x) - f(x0)I< ε, falls Ix-x0I<δ, x∈D
Also gilt immer noch:
Zu jedem ε>0 ex. ein δ>0, so dass: If(x) - f(x0)I< ε, falls Ix-x0I<δ, wenn x∈E⊂D
Damit ist f|E stetig in x0. (Das gilt auch für extreme Teilmengen, zB E={x0}
(ii): Sei x0 ∈ D und es existiert ein δ> 0, so dass f|D∩(x0−δ,x0+δ) stetig in x0.
D.h. mit E=D ∩ ]x0−δ,x0+δ[ ist fIE stetig in x0.
Dann gilt die entsprechende ε-δ-Aussage zur Stetigkeit auf E.
Dann gilt dieselbe ε-δ-Aussage immer noch, wenn E außerhalb des δ-Bereichs vergrößert wird. Das genügt zum Nachweis der Stetigkeit von fID=f.