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Servus!

Leider verstehe ich nicht ganz woher das \((-\infty , c)\) her kommt:

Wasseruhr: Ein mit Wasser gefüllter Eimer konstanten Querschnitts rinnt durch ein Loch im Boden aus. Für die Füllhöhe \( y(t)>0 \) zur Zeit \( t \) gilt dann \(\dot{y}(t)=-\alpha \sqrt{y(t)} \) mit \( \alpha>0 . \) Hat das Gefäß die Querschnittsfläche \( A \) und hat die Austrittsöffnung die Fläche \( a \), dann gilt \( \alpha=(a / A) \cdot \sqrt{2 g} \). Dabei bezeichnet \( g \) die Erdbeschleunigungskonstante.

Bestimmen Sie die Menge \( L \) aller maximalen Lösungen der DGL. Lösung: \( L=\left\{y_{c}: c \in \mathbb{R}\right\} \) mit \( y_{c}:(-\infty, c) \rightarrow \mathbb{R}_{>0} \) und \( y_{c}(x)=(\alpha(c-x) / 2)^{2} \)

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Hallo

 schlecht ist dass da plötzlich x statt t steht, aber theoretisch (solange kein y(t0) angegeben ist kann man ja zu jeder Zeit der Vergangenheit anfangen , allerdings, ab dem Moment in dem t=c ist also y=0 also der Eimer leer kann ja nichts mehr rauskommen.

ausserdem: beim Lösen der Dgl lammst du auf √y=a(c-x) und √y>0

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Gelöst habe ich die DGL schon und es kommt \(y=\frac{1}{4}(-\alpha x+c_1)\) raus. Wie komme ich jetzt konkret zur maximalen Lösung?

Zunächst mal kommt Wolframalpha auf die richtige Lösung:

blob.png

Vielleicht kannst du jetzt die Funktion mal für verschiedene Werte von a und c1 skizzieren. Vielleicht verstehst du dann, warum nur t <= c1 sinn macht.

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