Wir betrachten das Halbebenenmodell H^2 = {z ∈ C : Im(z) > 0} der hyper- bolischen Ebene.
(a) Seien α, β, γ ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass die Menge
g={z∈H^2 :α|z|^2+2βRe(z)+γ=0}
entweder leer, ganz H^2 oder eine hyperbolische Gerade ist. Zeigen Sie auch, dass jede hyperbolische Gerade von der Gestalt wie g ist.
Hier hab ich eine Fallunterscheidung in insgesamt 8 Fälle für α,β,γ gemacht und jeweils die Lösungsmenge bestimmt.
Nur für die 2 Fälle weiß ich nicht wie ich es lösen soll... irgendwie mit quadratischer Ergänzung:
α≠0, β≠0, γ=0 → x^2+y^2+2βx/α=0
α≠0, β≠0, γ≠0 → X^2+y^2+2βx/α+γ/α=0
Und wie zeige ich, dass jede Hyperbolische Gerade von der Gestalt wie g ist?
(b) Zu reellen Zahlen a,b,c,d mit ad − bc = 1 betrachten wir die Abbildung f(z) = az+b/(cz+d).
Zeigen Sie, dass f : H^2 → H^2 eine Bijektion ist.
Wir haben den Hinweis, dass wir zeigen müssen dass für Im(z)>0 auch Im(f(z))>0 ist.
Und wir sollen wir den Imaginärteil von f(z)= (az+b)/(cz+d) berechnen.
und wir sollen versuchen die Gleichung w=f(z)= ( az+b)/(cz+d) nach z aufzulösen.
(c) Zeigen Sie, dass eine Abbildung f wie in (b) hyperbolische Geraden auf hyperbolische Geraden abbildet.
