Löse die Geradengleichung nach einer der beiden Variablen (hier \(y\)) auf und setze sie in die Kreisgleichung ein und löse die Gleichung nach der anderen Variable (hier \(x\)) auf$$\begin{aligned} y &= c - x\\ (x+4)^2 + (c-x-6)^2 &= 2 \\ x^2 + 8x + 16 + (c-6)^2 - 2x(c-6) + x^2 &= 2 \\ 2x^2 + 2x(4 - c +6 ) + 14 + (c-6)^2&= 0 \\ x^2 - x(c-10) + 7 + \frac 12 (c-6)^2&= 0 \\ \implies x_{1,2} = \frac 12(c-10) \pm \underbrace{\sqrt{ \frac 14 (c-10)^2 - 7 - \frac 12 (c-6)^2}}_{D=0} \end{aligned}$$jetzt haben wir die beiden Werte \(x_{1,2}\) berechnet, bei denen die Gerade den Kreis schneidet. Wenn die Gerade den Kreis aber nur berühren soll, so müssen diese beiden Werte \(x_{1,2}\) zu einem zusammen fallen. Und dies geschieht genau dann, wenn der Wert \(D\) unter der Wurzel (die Diskriminante) \(=0\) ist.
Also:$$\begin{aligned} \frac 14 (c-10)^2 - 7 - \frac 12 (c-6)^2&= 0 \\ (c-10)^2 - 28 - 2(c-6)^2&= 0 \\ c^2 - 20c + 100 - 28 - 2c^2 + 24c - 72 &= 0 \\ - c^2 + 4c &= 0 \\ c(4-c) &= 0 \\ \implies c_1 = 0, \space c_2 = 4\end{aligned}$$... Du siehst, der Aufwand ist deutlich größer. Darüber hinaus kann man sich öfter verrechnen ;-)