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Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

:( + 4)^2 + ( − 6)^2 = 2

: x+ y= c


Frage: Ermittle so, dass der Kreis die Gerade berührt.

Muss ich hier die Geradengleichung auf y umformen und in die Kreisgleichung einsetzen ???

von

Kreisgleichung ist ja wohl  (x + 4)^2 + ( y− 6)^2 = 2

aber Gerade ???

Die Gerade wäre g: x+y = c

Dann gibt es doch y = c-x also

 (x + 4)^2 + ( c-x− 6)^2 = 2

<=> 2x^2 + (20-2c)x + c^2 - 12c + 50 = 0

Diskriminate D= b^2 - 4*a*c = (20-2c)^2 - 4*2*(c^2 - 12 c + 50)

D = 0 <=> -4c^2 + 16c = 0

           <=> c=2 oder c=6

sieht so aus

~draw~ kreis(-4|6 1.414){4F0};gerade(0|0 1|-1);gerade(0|4 1|3);zoom(10) ~draw~

Wie kommst du denn auf (16-2 c)x ?

Klammern auflösen, zusammenfassen und dann das x bei

allen Summanden, die ein x enthalten , ausklammern.

also: 2x²+8x+16-36c²+6cx=2  (1)

x(2x+8+6c)+16-36c²=2

Das stimmt so aber nicht :l

Stimmt das 1. (1) überhaupt?

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

Muss ich hier die Geradengleichung auf y umformen und in die Kreisgleichung einsetzen ?

nicht unbedingt. Wenn Du weißt, was die Hessesche Normalform einer Geraden ist, so gibt es für Dich noch eine andere Lösungsmöglichkeit. Die Geradegleichung kannst Du umformen $$g: \space x+ y= c \\ \implies \frac 12 \sqrt 2 \left( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \vec x -c \right) = 0$$Der Faktor \(\sqrt 2/2\) sorgt dafür, dass der Normalenvektor der Geraden die Länge \(1\) hat. Wenn man nun für \(\vec x\) irgendeinen Punkt einsetzt, so ergibt sich rechts der Abstand von der Geraden. Aus der Kreisgleichung folgt unmittelbar $$(x + 4)^2 + (y − 6)^2 = 2 \implies \vec m = \begin{pmatrix} -4\\6 \end{pmatrix}, \space r = \sqrt 2$$der Mittelpunkt \(\vec m\) und Radius \(r\) des Kreises.

Damit die Gerade den Kreis berührt, muss der Abstand der Geraden \(g\) von \(\vec m\) genau gleich dem Radius \(r\) sein. Dann kann man schreiben$$\eqalign{\implies \frac 12 \sqrt 2 \left( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \vec m -c \right) &= \pm r \\  \frac 12 \sqrt 2 \left( 2 - c \right) &= \pm \sqrt 2 \\  2 - c &= \pm 2 \\ \implies c_1 &= 0, \space c_2 = 4 }$$

von 26 k

Vielen, vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen :)

Könnten Sie mir aber bitte noch die andere Möglichkeit erklären? (also die mit dem Umformen und dem Einsetzen)

Ich habe diese Möglichkeit nämlich noch immer nicht verstanden und würde aber gerne beide Methoden anwenden können.

Löse die Geradengleichung nach einer der beiden Variablen (hier \(y\)) auf und setze sie in die Kreisgleichung ein und löse die Gleichung nach der anderen Variable (hier \(x\)) auf$$\eqalign{ y &= c - x\\  (x+4)^2 + (c-x-6)^2 &= 2 \\  x^2 + 8x + 16 + (c-6)^2 - 2x(c-6) + x^2 &= 2 \\ 2x^2 + 2x(4 - c +6 )  + 14  + (c-6)^2&=  0 \\  x^2 - x(c-10) + 7 + \frac 12 (c-6)^2&= 0 \\  \implies x_{1,2} = \frac 12(c-10) \pm  \underbrace{\sqrt{ \frac 14 (c-10)^2 - 7 - \frac 12 (c-6)^2}}_{D=0} }$$jetzt haben wir die beiden Werte \(x_{1,2}\) berechnet, bei denen die Gerade den Kreis schneidet. Wenn die Gerade den Kreis aber nur berühren soll, so müssen diese beiden Werte \(x_{1,2}\) zu einem zusammen fallen. Und dies geschieht genau dann, wenn der Wert \(D\) unter der Wurzel (die Diskriminante) \(=0\) ist.

Also:$$\eqalign{ \frac 14 (c-10)^2 - 7 - \frac 12 (c-6)^2&= 0 \\ (c-10)^2 - 28 - 2(c-6)^2&= 0 \\ c^2 - 20c + 100 - 28 - 2c^2 + 24c - 72 &= 0 \\  - c^2 + 4c &= 0 \\ c(4-c) &= 0 \\ \implies c_1 = 0, \space c_2 = 4}$$... Du siehst, der Aufwand ist deutlich größer. Darüber hinaus kann man sich öfter verrechnen ;-)

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Muss ich hier die Geradengleichung auf y umformen und in die Kreisgleichung einsetzen ???

Gute Idee und dann in der entstehenden quadratischen Gleichung

den Parameter so wählen, dass es nur genau eine Lösung gibt.

(Diskriminante = 0 ) .

von 195 k 🚀

Danke für deine schnelle Antwort.

Ich hab jetzt die Geradengleichung x+y = c auf y= c-x umgeformt, eingesetzt und ausgerechnet:

x² +8x +16 +(c-x-6)²=2

2x²+8x+16-36c²+ 12cx=2

jetzt ist:

a= 2

b= 8

c= 14-36c²+12cx

wie mach ich da jetzt, wenn ich c als unbekannte habe?

Habs korrigiert !

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