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Am Ufer \( (=x \) -Achse) der Weser nimmt die Wirbelstärke zur Flußmitte hin \( (y-\text { Richtung }) \) ab. Es gelte für die Strömungsgeschwindigkeit \( \vec{v}(\vec{r}): \)

$$ \nabla \times \vec{v}=\vec{e}_{z} \omega e^{-y / a} $$
wobei \( \vec{e}_{z} \) der Einheitsvektor in z-Richtung ist und \( \omega \) und a zwei Konstanten sind. Bestimmen Sie \( \vec{v}(\vec{r}) . \) Hinweis: Direkt am Ufer \( (y=0) \) sollte die Strömungsgeschwindigkeit null sein.


Bei dieser Aufgabe finde ich keinen Ansatz, muss ich den Nabla Operator umgekehrt anwenden oder den Nabla Operator auf den Vektor v anwenden?

Für Tipps oder Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar!

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Aloha :)

$$\vec\nabla\times\vec v=\omega\mathrm{e}^{-y/a}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec\nabla\times\vec v=\begin{pmatrix}\partial_2v_3-\partial_3v_2\\\partial_3v_1-\partial_1v_3\\\partial_1v_2-\partial_2v_1\end{pmatrix}$$

Vergleich der beiden rechten Seiten liefert:$$\partial_2v_3=\partial_3v_2\quad;\quad\partial_3v_1=\partial_1v_3\quad;\quad\partial_1v_2-\partial_2v_1=\omega\mathrm{e}^{-y/a}$$

Da die \(z\)-Komponente in der Situation keine Rolle spielt, setzen wir \(v_3=0\). Dann folgt aus den ersten beiden Differentialgleichungen:$$\partial_3v_2=0\quad\Rightarrow\quad v_2=\int0\,dz=0+f_2(x,y)=f_2(x,y)$$$$\partial_3v_1=0\quad\Rightarrow\quad v_1=\int0\,dz=0+f_1(x,y)=f_1(x,y)$$

Die Funktionen \(f_1(x,y)\) und \(f_2(x,y)\) sind "Integrationskonstanten" in dem Sinne, dass sie nicht von \(z\) abhängen. Wir setzen \(v_1=f_1(x,y)\) und \(v_2=f_2(x,y)\) in die dritte Differentialgleichung ein:$$\partial_1f_2(x,y)-\partial_2f_1(x,y)=\omega\mathrm{e}^{-y/a}$$

Weil \(x\) in der Wirbelstärke gar nicht vorkommt, wählen wir \(f_2(x,y)=0\):$$-\partial_2f_1(x,y)=\omega\mathrm{e}^{-y/a}\quad\Rightarrow\quad f_1(x,y)=-\int\omega\mathrm{e}^{-y/a}\,dy=a\omega\mathrm{e}^{-y/a}+c$$

Die Integrationskonstante \(c\) folgt aus der Randbedingung, dass am Ufer \((y=0)\) die Strömungsgeschwindigkeit Null ist:$$0\stackrel{!}{=}f_1(x,0)=a\omega+c\quad\Rightarrow\quad c=-a\omega$$

Damit lautet das gesuchte Geschwindigkeitsfeld:$$\vec v=\begin{pmatrix}a\omega\cdot\left(e^{-y/a}-1\right)\\0\\0\end{pmatrix}$$

Beachte bitte, dass man, wegen \(\vec\nabla\times(\vec\nabla\varphi(\vec r))=\vec 0\), zu \(\vec v\) ein beliebiges Gradientenfeld addieren darf, ohne dass sich die Rotation von \(\vec v\) ändert. Daher ist das Ergebnis für \(\vec v\) nicht eindeutig.

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Du bist echt mein Held! Vielen lieben Dank!! :)

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