Aloha :)
$$\vec\nabla\times\vec v=\omega\mathrm{e}^{-y/a}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec\nabla\times\vec v=\begin{pmatrix}\partial_2v_3-\partial_3v_2\\\partial_3v_1-\partial_1v_3\\\partial_1v_2-\partial_2v_1\end{pmatrix}$$
Vergleich der beiden rechten Seiten liefert:$$\partial_2v_3=\partial_3v_2\quad;\quad\partial_3v_1=\partial_1v_3\quad;\quad\partial_1v_2-\partial_2v_1=\omega\mathrm{e}^{-y/a}$$
Da die \(z\)-Komponente in der Situation keine Rolle spielt, setzen wir \(v_3=0\). Dann folgt aus den ersten beiden Differentialgleichungen:$$\partial_3v_2=0\quad\Rightarrow\quad v_2=\int0\,dz=0+f_2(x,y)=f_2(x,y)$$$$\partial_3v_1=0\quad\Rightarrow\quad v_1=\int0\,dz=0+f_1(x,y)=f_1(x,y)$$
Die Funktionen \(f_1(x,y)\) und \(f_2(x,y)\) sind "Integrationskonstanten" in dem Sinne, dass sie nicht von \(z\) abhängen. Wir setzen \(v_1=f_1(x,y)\) und \(v_2=f_2(x,y)\) in die dritte Differentialgleichung ein:$$\partial_1f_2(x,y)-\partial_2f_1(x,y)=\omega\mathrm{e}^{-y/a}$$
Weil \(x\) in der Wirbelstärke gar nicht vorkommt, wählen wir \(f_2(x,y)=0\):$$-\partial_2f_1(x,y)=\omega\mathrm{e}^{-y/a}\quad\Rightarrow\quad f_1(x,y)=-\int\omega\mathrm{e}^{-y/a}\,dy=a\omega\mathrm{e}^{-y/a}+c$$
Die Integrationskonstante \(c\) folgt aus der Randbedingung, dass am Ufer \((y=0)\) die Strömungsgeschwindigkeit Null ist:$$0\stackrel{!}{=}f_1(x,0)=a\omega+c\quad\Rightarrow\quad c=-a\omega$$
Damit lautet das gesuchte Geschwindigkeitsfeld:$$\vec v=\begin{pmatrix}a\omega\cdot\left(e^{-y/a}-1\right)\\0\\0\end{pmatrix}$$
Beachte bitte, dass man, wegen \(\vec\nabla\times(\vec\nabla\varphi(\vec r))=\vec 0\), zu \(\vec v\) ein beliebiges Gradientenfeld addieren darf, ohne dass sich die Rotation von \(\vec v\) ändert. Daher ist das Ergebnis für \(\vec v\) nicht eindeutig.
