Vektorfelder und Nabla Operator

Question

Am Ufer $(=x$ -Achse) der Weser nimmt die Wirbelstärke zur Flußmitte hin $(y-\text { Richtung })$ ab. Es gelte für die Strömungsgeschwindigkeit $\vec{v}(\vec{r}):$

$$\nabla \times \vec{v}=\vec{e}_{z} \omega e^{-y / a}$$
wobei $\vec{e}_{z}$ der Einheitsvektor in z-Richtung ist und $\omega$ und a zwei Konstanten sind. Bestimmen Sie $\vec{v}(\vec{r}) .$ Hinweis: Direkt am Ufer $(y=0)$ sollte die Strömungsgeschwindigkeit null sein.

Bei dieser Aufgabe finde ich keinen Ansatz, muss ich den Nabla Operator umgekehrt anwenden oder den Nabla Operator auf den Vektor v anwenden?

Für Tipps oder Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

Aloha :)

$$\vec\nabla\times\vec v=\omega\mathrm{e}^{-y/a}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec\nabla\times\vec v=\begin{pmatrix}\partial_2v_3-\partial_3v_2\\\partial_3v_1-\partial_1v_3\\\partial_1v_2-\partial_2v_1\end{pmatrix}$$

Vergleich der beiden rechten Seiten liefert:$$\partial_2v_3=\partial_3v_2\quad;\quad\partial_3v_1=\partial_1v_3\quad;\quad\partial_1v_2-\partial_2v_1=\omega\mathrm{e}^{-y/a}$$

Da die $z$-Komponente in der Situation keine Rolle spielt, setzen wir $v_3=0$. Dann folgt aus den ersten beiden Differentialgleichungen:$$\partial_3v_2=0\quad\Rightarrow\quad v_2=\int0\,dz=0+f_2(x,y)=f_2(x,y)$$$$\partial_3v_1=0\quad\Rightarrow\quad v_1=\int0\,dz=0+f_1(x,y)=f_1(x,y)$$

Die Funktionen $f_1(x,y)$ und $f_2(x,y)$ sind "Integrationskonstanten" in dem Sinne, dass sie nicht von $z$ abhängen. Wir setzen $v_1=f_1(x,y)$ und $v_2=f_2(x,y)$ in die dritte Differentialgleichung ein:$$\partial_1f_2(x,y)-\partial_2f_1(x,y)=\omega\mathrm{e}^{-y/a}$$

Weil $x$ in der Wirbelstärke gar nicht vorkommt, wählen wir $f_2(x,y)=0$:$$-\partial_2f_1(x,y)=\omega\mathrm{e}^{-y/a}\quad\Rightarrow\quad f_1(x,y)=-\int\omega\mathrm{e}^{-y/a}\,dy=a\omega\mathrm{e}^{-y/a}+c$$

Die Integrationskonstante $c$ folgt aus der Randbedingung, dass am Ufer $(y=0)$ die Strömungsgeschwindigkeit Null ist:$$0\stackrel{!}{=}f_1(x,0)=a\omega+c\quad\Rightarrow\quad c=-a\omega$$

Damit lautet das gesuchte Geschwindigkeitsfeld:$$\vec v=\begin{pmatrix}a\omega\cdot\left(e^{-y/a}-1\right)\\0\\0\end{pmatrix}$$

Beachte bitte, dass man, wegen $\vec\nabla\times(\vec\nabla\varphi(\vec r))=\vec 0$, zu $\vec v$ ein beliebiges Gradientenfeld addieren darf, ohne dass sich die Rotation von $\vec v$ ändert. Daher ist das Ergebnis für $\vec v$ nicht eindeutig.

Comments

Du bist echt mein Held! Vielen lieben Dank!! :)