Doppelter Eigenwert soll auch zwei Eigenvektoren besitzten

Question

Gegeben Sei folgende Matrix:

 $$ B = \begin{matrix} 1 & 2 &1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix} $$ nun soll davon die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt werden.

$$ p(λ)= -λ^3+6 λ^2-9 λ+4 = 0 \\ \text{Eigenwerte: } λ_{1}= 1 \ λ_{2}= 4 \ λ_{3}= 1   $$

Die Eigenwerte sind laut Lösung korrekt.

$$ \text{Für den Eigenwert: } λ_{2} \text{ ist der Eigenvektor } w* \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}, w \in \mathbb{R}\ \text{\ ohne 0. Das ebenfalls richtig ist.} $$

Nun mein Problem:

Ich erhalte für die beiden anderen Eigenvektoren was anderes raus, als in der Lösung steht (siehe Bild).

Laut Lösung sollen zwei Vektoren mit $$ \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \ und\ \begin{pmatrix} 0\\1\\-2 \end{pmatrix} $$ rauskommen. Welches ich aber nicht genau nachvollziehen kann.

Comments

Kontrolliere deine Matrix mal auf Tippfehler.

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Upps, ja stimmt. Habe es jetzt korrigiert.

Answer 1

Aloha :)

Zur Bestimmung des Eigenvektors musst du eigentlich nur den Eigenwert von der Hauptdiagonalen der Matrix subtrahieren und diese Matrix dann gleich Null setzen:$$\mathbf{A}\vec v=\lambda\vec v=\lambda\mathbf{1}\vec v\quad\Leftrightarrow\quad\left(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{1}\right)\vec v=\vec 0$$Wendet man das auf die gegebene Matrix mit \(\lambda=1\) an$$\left(\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline0 & 2 & 1 & 0\\0 & 2 & 1 & 0\\0 & 2 & 1 & 0\end{array}\right)$$kannst du sofort zwei Eigenvektoren \((1|0|0)\) und \((0|1|-2)\) ablesen.

Comments

Ok, das mit  (0|1|−2) habe ich jetzt verstand. 

Aber woran kann ich denn (1|0|0) ablesen? 

In nehme an, dass x beliebig wird, daher die 1. Aber woher kommen y=0 und z=0?

Oder setzt man das dann immer so?

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Das kannst du dir aussuchen. Die Eigenvektoren sind nicht eindeutig. Ich hätte auch \((2|-3|6)\) als Eigenvektor wählen können. Du musst nur darauf achten, dass die beiden gewählten Eigenvektoren nicht linear voneinander abhängen.

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Ok, ich glaube jetzt macht es Sinn.

Aber einmal muss ich noch nachhaken :D

Heißt das, ich könnte theoretisch beliebig viele Eigenvektoren statt jetzt nur die beiden nehmen, die dürfen nur nicht linear voneinander abhängig sein?

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Bei dem Versuch, einen dritten Eigenvektor zu finden, der nicht linear von den beiden schon gefundenen abhängt, wirst du merken, dass es einen solchen Vektor nicht gibt ;)

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ich hake hier mal nach, weil ich gerade auf eine Lin. Algebra Prüfung lerne.

Wie kann man aus dieser Matrix die beiden genannten Eigenvektoren ablesen?

Wie weiß ich, ob ein doppelter Eigenwert nur einen oder zwei Eigenvektoren hat? Woraus ergibt sich das?

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Aloha AkimboSlice ;)

Alle 3 Gleichungen der Matrix sind ja identisch, ausgeschrieben bedeutet sie:$$2y+z=0\quad\text{bzw.}\quad z=-2y$$Die Lösungen des LGS sind also:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\y\\-2y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$$