Es gilt $$ | f(x) - g(x) | = | f(x) - h(x) + h(x) - g(x) | \le | f(x) - h(x) | + | h(x) - g(x) | $$ Also auch
$$ \int_0^1| f(x) - g(x) | \ dx \le \int_0^1 | f(x) - h(x) | \ dx + \int_0^1 | h(x) - g(x) | \ dx $$ und
$$ \max_{x \in [0,1] } | f(x) - g(x) | \le \max_{ x \in [0,1] } | f(x) - h(x) | + \max_{ x \in [0,1] } | h(x) - g(x) | $$
Damit ist die Dreiecksungleichung bewiesen und das \( d(f,f) = 0 \) ist trivial ebenso wie die Symmetrie.