Zeige d ist eine Metrik. Beweis.

Question

Wie beweise ich das:

Menge C := C¹([0; 1]; ℝ)

d:CXC->ℝ; (f ,g)->(max |f'(x)-g'(x)|)+(\( \int\limits_{0}^{1} \)| f(x)-g(x)|dx)

Zeige d ist eine Metrik

Answer 1

Es gilt $$ | f(x) - g(x) | = | f(x) - h(x) + h(x) - g(x) | \le | f(x) - h(x) | + | h(x) - g(x) | $$ Also auch

$$  \int_0^1| f(x) - g(x) | \ dx \le \int_0^1 | f(x) - h(x) | \ dx + \int_0^1 | h(x) - g(x) | \ dx $$ und

$$ \max_{x \in [0,1] } | f(x) - g(x) | \le \max_{ x \in [0,1] } | f(x) - h(x) | + \max_{ x \in [0,1] } | h(x) - g(x) |  $$

Damit ist die Dreiecksungleichung bewiesen und das \( d(f,f) = 0 \) ist trivial ebenso wie die Symmetrie.

Comments

merci :-) so hatte ich das dann auch gemacht die maxima einzeln und die integrale einzeln deswegen insgesamt

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da du dich gut mit metriken auskennst könntesst du dir meine letzte Frage auch noch angucken und mir sagen ob sich beim Metrikbeweis etwas ändert wenn man sich statt der Reellen zahlen die komplexen ansieht?