a)
$$\text{Da } e^x>0 \ \forall x\in \mathbb{R} \text{ lässt sich die einzige Nullstelle bei } x=0 \text{ finden.} \\ \text{Die Funktion f ist (n-mal) differenzierbar auf }\mathbb{R} \text{.} \\ \text{Es gilt } f'(x)=\frac{x(2-x)}{e^{x}} \text{ nach der Quotientenregel.} \\ \text{Mit } e^x>0 \text{ lässt sich } f'(x)=0 \text{ nur für } x=0 \text{ oder } x=2 \text{ realisieren.} \\ \text{Es ist } f''(x)=\frac{x^2-4x+2}{e^x} \text{ nach der Quotientenregel.} \\ \text{Es gilt } f''(0) = 2 > 0 \text{ und } f''(2)=-\frac{2}{e^2} < 0 \text{.} \\ \text{Damit gibt es ein lokales Minimum bei } x=0 \text{ und ein lokales Maximum bei } x=2 \text{.}$$
b)
$$\text{Mit L'Hospital gilt } \lim_{x\to \infty} f(x) = \lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x\to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x\to \infty} \frac{2}{e^x} = 0 \in [-\infty, \infty] \text{.}$$
c)
Zumindest die Nullstelle, die lokalen Maxima und Minima, sowie den Verlauf für x gegen unendlich kannst du gut einzeichnen. Im Intervall [-1.5,7.5] sieht der Graph z.B. wie folgt aus: