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Aufgabe:

a) Bestimme Oberfläche und Volumen der hohlen Würfel. Welche Oberfläche und welches Volumen hat ein massiver Würfel mit den selben Außenmaßen? Vergleiche.

b) Überlege dir selbst solch ausgehöhlten Körper und rechne.

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Volumen des hohlen Würfels:

Nun, der Würfel besteht aus 12 "Balken" mit jeweils den Maßen 4 * 1 * 1 Längeneinheiten (LE). Hinzu kommen 8 massive Würfel, die die Ecken des hohlen Würfels bilden und die Maße 1 * 1 * 1 LE haben. 

Insgesamt ergibt sich also ein Volumen Vhohl von

Vhohl = 12 * 4 * 1 * 1 + 8 * 1 * 1 * 1

= 48 + 8 = 56 LE 3

 

Man könnte das Volumen des hohlen Würfels auch so berechnen:

Der hohle Würfel entsteht aus einem gleich großen massiven Würfel, indem man aus dessen Zentrum einen massiven Würfel mit einer Kantenlänge von 4 LE herausschneidet sowie aus seinen 6 Seitenwänden jeweils eine "Platte" mit den Maßen 4 * 4 * 1 LE herausschneidet.

Es ergibt sich:

Vhohl = Vmassiv - 4 * 4 * 4 - 6 * 4 * 4 * 1

= 6 3 - 4 3 - 96

= 216 - 64 - 96 = 56 LE 3

 

Zum Vergleich: Ein massiver Würfel mit gleicher Außenseitenlänge ( 6 LE ) hat ein Volumen Vmassiv von:

Vmassiv = 6 3 = 216 LE 3

und hat damit beinahe das vierfache Volumen wie der hohle Würfel.

 

Oberflächeninhalt des hohlen Würfels:

Die zwölf Balken, mit denen schon bei der Berechnung des Volumens gerechnet wurde, haben jeweils die Maße 4 * 1 * 1 LE. Ihre Außenflächen sind also 4 Rechtecke zu jeweils 4 * 1 LE. Ihre Stirnflächen sind verdeckt, tragen als nichts zum Oberflächeninhalt bei. Somit haben die 12 Balken insgesamt einen Oberflächeninhalt OBalken von

OBalken = 12 * 4 * 4 * 1 = 192 LE 2

Hinzu kommen noch die Oberflächeninhalte der 8 Ecken. Diese sind Würfel mit der Kantenlänge 1 LE , von deren jeweils 6 Flächen jeweils 3 sichtbar und 3 verdeckt sind. Die 3 sichtbaren Flächen haben jeweils die Maße 1 * 1 LE, sodass sich für den gesamten Flächeninhalt der 8 Ecken ergibt:

OEcke = 8 * 3 * 1 * 1 = 24 LE 2

Insgesamt ergibt sich also ein Oberflächeninhalt Ohohl des hohlen Würfels von

Ohohl = OBalken + OEcke

= 192 + 24 = 216 LE 2

Zum Vergleich: Die Oberfläche des massiven Würfels besteht aus 6 quadratischen Flächen mit den Maßen 6 * 6 LE. Er hat also einen Oberflächeninhalt von:

Omassiv = 6 * 6 * 6 = 216 LE 2

also genau so viel wie der hohle Würfel!

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