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Ich habe folgende Potenzeihen gegeben:

∑ ak(x-1)^k und ∑ k*ak (x-1)^k haben den gleichen Konvergenzradius.

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} x^{k} \text {und } \sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot a_{k} x^{k-1} \)

und soll die Konvergenzradien bestimmen.

Ich soll zeigen, dass die Konvergenzradien der beiden Potenzreihen gleich sind.

Mein Ansatz für die erste Reihe die zweite würde ich dann genauso behandeln:

\( R=\frac{1}{\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sup \sqrt[k]{\left|a_{k}(x-1)^{k}\right|}}=\frac{1}{\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sup \sqrt[k]{a_{k}} \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sup \sqrt[k]{(x-1)^{k}}} \)

dann weiß ich, dass

\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{z}=1 \quad \) und \( \quad \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{z^{k}}=k \)

damit würde ich dann folgendes bekommen:

\( R=\frac{1}{I \cdot k}=\frac{1}{(x-1)} \) da mein \( k=(x-1) \)

Kann ich das so machen?

Hier wäre mein Konvergenzradius 1/(x-1)

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Warum hast du (x-1)^k überhaupt in der Radienberechnung drinn?
Wenn da einfach x^k stehen würde, kommt das doch nicht in diese Rechnung. Oder täusche ich mich da?

Vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

(x-1)^k sagt dir einfach dass das Zentrum des Konvergenzbereichs in x=1 liegt und nicht in x=0.

Was genau ist denn ak?

Sollst du die beiden Konvergenzradien vergleichen oder ausrechnen?

Zum Ausrechnen musst du die ak noch angeben.

Ja du hast recht es soll hier heißen:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} x^{k} \text {und } \sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot a_{k} x^{k-1} \)

ich dachte zuerst, wenn k=1 unter der Summation steht muss für den Konvergenzradius für x0 stehen. Hier hatte ich die Difinition aus Wikipedia nicht richtig verstanden.

Und ja ich soll hier zeigen, dass diese Potenzreihen den gleichen Konvergenzradius besitzen.

Hier dachte ich , ich subtrahiere die Reihen und bekomme entweder Null heraus wenn sie den gleichen Konvergenzradius besitzen oder nicht Null wenn nicht.

Oder ich dividiere diese Reihen und bekomme bei gleichen Konvergenzradien 1 raus.

Bin ich da auf dem richtigen Weg?

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie: Die gegebenen Potenzreihen haben denselben Konvergenzradius.

Stichworte: konvergenzradius,reihen,potenzen,cauchy-folge

Es seien nun \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n\) und \(\sum_{n=1}^{\infty} n a_n t^{n-1}\) Potenzreihen in \(\mathbb{K}\). Zeigen Sie:

  1. ) Konvergiert \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n y^n\) für ein \(y \in \mathbb{K}\), dann konvergiert \(\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}\) absolut für alle \(x \in \mathbb{K}\) mit \(|x|<|y|\).
  2. ) Die gegebenen Potenzreihen haben denselben Konvergenzradius.
  3. ) Finden Sie ein Beispiel, das zeigt, dass die beiden Potenzreihen nicht immer für dieselben \(x \in \mathbb{K}\) konvergieren müssen.

 

 ich hoffe ihr könnt mir hier helfen, danke! 

Was hast du in a) und b) schon gezeigt?

Kann sein, dass du das bei c) … wieder brauchen kannst.

1 Antwort

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Wie schon erwähnt muss die ganze Argumentation x-frei sein:

Mal unter den Annahme, dass alles definiert und nicht 0 ist.

Es gilt für die erste Potenzreihe r = lim |ak / ak+1 |

und für die 2. Potenzreihe r = lim | kak / ((k+1)*ak+1  )|

= lim | (k+1)/(k+2) * ak+1 / ak+2 |

 

= lim( | (k+1)/(k+2)| * |ak+1 / ak+2 |)

 

= lim ((k+1)/(k+2) )* lim | ak+1 / ak+2 |

                 |erster Grenzwert ist 1. kannst du zeigen,

                               indem du oben und unten durch k dividierst      (1 + 1/k)/(1+2/k)

                 |zweiter Grenzwert ist das r von vorher,

                                      da es sich wieder um 2 aufeinanderfolgenden ak handelt.

= 1*r = r

qed.


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