Aufgabe: Sei $$ V=\mathbb{R^4}$$
$$ U_1 = <\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\1\\2\\5 \end{pmatrix}>$$
$$ U_2 = <\begin{pmatrix} 1\\0\\2\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\0\\5\\4 \end{pmatrix}>$$
$$ W = <\begin{pmatrix} 1\\0\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\1\\3\\5 \end{pmatrix}>$$
Untervektorräume von V
Zeige, dass
$$1.\ U_1\neq U_2 $$
$$2. \ U_1+W = U_2+W $$
Problem/Ansatz:
zu 1) Ich hätte gesagt, dass angenommen beide wäre gleich, dann würde $$ U_1\cap U_2 = U_1 = U_2 $$ gelten. Also
$$\forall v\in U_1 \exist a,b,c,d\in\mathbb{R}: v=a*\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\3 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix} 2\\1\\2\\5 \end{pmatrix}=c*\begin{pmatrix} 1\\0\\2\\2 \end{pmatrix}+d*\begin{pmatrix} 2\\0\\5\\4 \end{pmatrix} $$
Wenn ich das Gleichungssystem löse, dann komme ich auf $$ \begin{pmatrix} -t\\t\\t\\0 \end{pmatrix} $$, also insbesondere ist die Dimension der Basis des Schnitts gleich 1, also ungleich 2 und somit sind die Unterräume verschieden.
zu 2) Ich wäre jetzt ähnlich vorgegangen wie oben, also hätte ich eine Basis von U_i+W bestimmt, das wäre hier folgendes:
$$ Basis(U_1+W)= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\1\\2\\5 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0\\3\\2 \end{pmatrix} \end{pmatrix} $$
$$ Basis(U_2+W)=\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\0\\5\\4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\1\\3\\5 \end{pmatrix} \end{pmatrix} $$
Aber wie zeige ich jetzt, dass beide Räume gleich sind? Wenn ich das Gleichungssystem so wie oben aufstelle, dann bekomme ich als Lösung ja Vektoren aus dem $$\mathbb{R^6}$$
