Aloha :)
Ich würde das Integral in Polarkoordinaten berechnen:
$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[\varepsilon;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\varepsilon>0$$
Das Flächenelement wird durch diese Koordinatentransformation verzerrt:$$dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$
Wegen \(x^2+y^2=r^2\) erhalten wir für das Integral:$$I(\varepsilon)=\iint\limits_{S_{\varepsilon}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_\varepsilon^1\frac{1}{r}\,r\,dr=2\pi(1-\varepsilon)\quad\stackrel{(\varepsilon\to0)}{\to}\quad2\pi$$