Extremwertproblem Funktionsuntersuchung Becher

Question

Aufgabe:

Wie kann ein zylindrischer Becher für ein vorgegebenes Fassungsvermögen bei minimalem Materialverbrauch werden?

... den „dicksten" Balken aus einem zylindrischen Holzstamm herausarbeiten Wie kann in einem Kreis vom Radius ein Rechtck mit maximalem Flächeninhalt einbeschrieben werden?

... Von einem quadratischen Stück Pappe soll werass ein den Ecken derart Quaditten das Reststück zu einer oben offenen Schachtel mit maximalem Volumen zusammengeklebt werden kann.

Problem/Ansatz:

Ich verdrehte nicht, inwieweit hier ein Extremwertproblem vorlegen kann. Bruchstelle dazu Hilfe. Würde mich über eine Antwort freuen

Answer 1

Es liegen insoweit Extremwertprobleme vor, dass der minimale Materialverbrauch, der maximale Flächeninhalt und das maximale Volumen Extremwerte der Materialverbrauchs-, Flächeninhalts- bzw. Volumenfunktion sind.

Comments

Wie könnte ich dazu eine Funkrion aufstellen?

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minimalem Materialverbrauch

Formel für den Materialverbrauch aufstellen.

zylindrischer Becher

Man benötigt Material für einen Kreis (Boden des Bechers) und einen Zylindermantel.

      A = πr² + 2πrh.

für ein vorgegebenes Fassungsvermögen

In Ermangelung weiterer Angaben ist das Fassungsvermögen V. Formel dafür aufstellen:

        V = πr²h.

Diese Formel stellt man nach r oder h um und setzt in die Formel für Materialverbrauch ein:

        A = πr² + 2V/r.

Das fasst man als Funktion von r auf,

        A(r) = πr² + 2V/r

und bestimmt davon den Tiefpunkt.

Das V betrachtet man also Konstante wegen "vorgegebenes Fassungsvermögen".

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Okay.

Wie würde Ich jetzt auf ein Ergebnis kommen ?

Mein r ist doch:  \( \sqrt{V/pie•h} \)

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Mir ist ebenfalls unklar, wie ich hier nun den Tiefpunkt bestimmen kann

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Wie würde Ich jetzt auf ein Ergebnis kommen ?

Ich weiß nicht, was du mit Ergebnis meinst.

Mein r ist doch:  \( \sqrt{V/pie•h} \)

Ich weiß auch nicht, was du mit mein r meinst.

wie ich hier nun den Tiefpunkt bestimmen kann

Mit der gleichen Methode, mit der man auch den Tiefpunkt anderer Funktionen bestimmt.