Eigenwerte eines endlich dimensionalen Vektorraums

Question

Text erkannt:

(iii) Zeigen Sie, dass es eine Basis \( B \) von \( V \) gibt, bezüglich der \( \pi \) die Matrixdarstellung
$$ \mathcal{M}_{B}^{B}(\pi)=\left(\begin{array}{cc} 1_{k} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) $$
hat. Dabei sei \( k=\operatorname{dim} \) Bild \( \pi \) und \( 1_{k} \) die \( k \times k \) -Einheitsmatrix.

Text erkannt:

Sei \( V \) ein endlichdimensionaler \( K \) -Vektorraum und sei \( \pi \in \operatorname{End}(V) \) mit \( \pi \circ \pi=\pi \).

Answer 1

Hallo,

ich nenne die Abbildung mal f.

Wenn s ein Eigenwert ist mit Eigenvektor v, dann gilt:

$$f(v)=sv \Rightarrow f(v)=f \circ f(v)=s f(v)$$

Demnach kommt für in Frage:

1. \(s=1\), der zughörige Eigenraum ist Bild(f). Für \(f(x) \in \text{Bild}(f): f(f(v))=1 \cdot f(v)\).

2. \(s=0\), der zugehörige Eigenraum ist Kern(f).

Die gesuchte Basis setzt sich aus eine Basis für Bild(f) und einer Basis für Kern(f) zusammen. Wegen des Dimensionssatzes sind das insgesamt genug Elemente für eine Gesamtbasis.

Gruß