Wenn das eine Übungsaufgabe zu Lagrange sein soll, ist dein Vorgehen akzeptabel.
Wenn es nur um die Lösung der Aufgabe an sich geht, ist Lagrange so ziemlich die schlechteste Wahl.
Kontrolllösung:
Eine Gerade durch (1|1|0), die senkrecht auf E steht, hat die Gleichung
\( \vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}\)
Für den Schnittpunkt mit E gilt
(1+t)+(1+t)-(0-t)=0, also 2+3t=0 bzw. t=-2/3.
Den Ortsvektor des gesuchten nächstliegenden Punktes erhältst du also mit
\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} -\frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}\)