Eigenschaften finden Funktionsgleichung 4.Grades

Question

Aufgabe:

Eigenschaften Funktionsgleichung aufstellen

Problem/Ansatz:

Ich brauche bei folgender Aufgabe Hilfe.

Gesucht ist die Gleichung einer ganz rationalen Funktion vierten Grades, die folgende Bedingungen erfüllt:

Der Graph berührt die X-Achse im Punkt P(3/0) Und besitzt im Punkt Q(0/-3) einen Terassenpunkt.

Ich hab jetzt schon

1. Punkteigenschaft P(3/0): f(3)=0

2. Punkteigenschaft Q(0/-3): f(0)=-3

3. Wendepunkteigenschaft Q(0/-3): f‘‘(0)=-3

4. ?

5.  ?

Nur weiß ich nicht welche zwei Eigenschaften es noch gibt....

Comments

4. f'(0)=0; weil beim Terrassenpunkt die Steigung 0 ist. Sonst wär die Terrasse ja schief.

5. f'(3)=0; weil wenn der Graph die X-Achse nur berührt und nicht schneidet, dann ist dort auch ein Maximum oder Minimum

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Perfekt das hilft mir!

Answer 1

4. f'(3) = 0 weil die x-Achse an der Stelle 3 berührt wird.

5. f'(0) = 0 weil Terassenpunkte eine waagerechte Tangente haben.

Answer 2

Der Graph berührt die x-Achse im Punkt \(P(3|0)\) Und besitzt im Punkt \(Q(0|-3)\) einen Terrassenpunkt. 4.Grad

verschieben um 3↑:  \  (Q(0|-3)\)→\(Q´(0|0)\) 

\(f(x)=ax^3(x-N)\)

\(P(3|0)\)→ \(P´(3|3)\)

\(f(3)=27a(3-N)=3\)

\(a=\frac{1}{27-9N}\)

\(f(x)=\frac{1}{27-9N}x^3(x-N)=\frac{1}{27-9N}(x^4-Nx^3)\)

an der Stelle  \(x=3  \) ist ein Extremwert:

\(f'(x)=\frac{1}{27-9N}(4x^3-3Nx^2)\)

\(f'(3)=\frac{1}{27-9N}(108-27N)=0\)

\(N=4\)

\(f(x)=-\frac{1}{9}(x^4-4x^3)\)

verschieben um 3↓:

\(p(x)=-\frac{1}{9}(x^4-4x^3)-3\)