Aloha :)
Der gegebene Vektor$$\vec r(u,v)=\begin{pmatrix}\sin^2u\cos v\\\sin^2u\sin v\\\sin u\cos u\end{pmatrix}=\sin u\begin{pmatrix}\sin u\cos v\\\sin u\sin v\\\cos u\end{pmatrix}\quad;\quad u\in[0;\pi]\;;\;v\in[0;2\pi]$$tastet eine Fläche im \(\mathbb R^3\) ab. Zur Bestimmung der Fläche brauchen wir das Flächenelement \(df\). Zu dessen Bestimmung hast du nun 2 Möglichekeiten...
1. Möglichkeit: Du erkennst, dass nach Ausklammern von \(\sin u\) der Einheitsvektor in Kugelkoordinaten (also mit \(r=1\)) übrig bleibt und setzt dessen Flächenelement \(d\Omega=r^2\sin u\,du\,dv=\sin u\,du\,dv\) als bekannt voraus. Dann kannst du hier \(df=\sin^2u\,du\,dv\) direkt angeben.
2. Möglichkeit: Du bildest das totale Differential des Ortsvektors mit Hilfe der Kettenregel$$d\vec r=\frac{\partial\vec r}{\partial u}\,du+\frac{\partial\vec r}{\partial v}\,dv$$und erkennst, wie sich der Vektor \(\vec r\) bei infinitesimalen Änderungen \(du\) und \(dv\) ändert. Daraus kannst du das infinitesimale Flächenelement \(df\) bestimmen, das der Vektor \(\vec r\) bei infinitesimalen Änderungen \(du\) und \(dv\) überdeckt:$$df=\left\|\left(\frac{\partial\vec r}{\partial u}du\right)\!\!\times\!\!\left(\frac{\partial\vec r}{\partial v}dv\right)\right\|=\left\|\begin{pmatrix}2\sin u\cos u\cos v\\2\sin u\cos u\sin v\\\cos u\cos u-\sin u\sin u\end{pmatrix}\!\!\times\!\!\begin{pmatrix}-\sin^2u\sin v\\\sin^2u\cos v\\0\end{pmatrix}\right\|du\,dv$$$$\phantom{df}=\left\|\begin{pmatrix}-(\cos^2u-\sin^2u)\sin^2u\cos v\\-(\cos^2u-\sin^2u)\sin^2u\sin v\\2\sin u\cos u\cos v\sin^2u\cos v+2\sin u\cos u\sin v\sin^2u\sin v\end{pmatrix}\right\|du\,dv$$$$\phantom{df}=\left\|\begin{pmatrix}-(1-2\sin^2u)\sin^2u\cos v\\-(1-2\sin^2u)\sin^2u\sin v\\2\sin^3u\cos u\cos^2v+2\sin^3u\cos u\sin^2v\end{pmatrix}\right\|du\,dv$$$$\phantom{df}=\left\|\begin{pmatrix}(2\sin^2u-1)\sin^2u\cos v\\(2\sin^2u-1)\sin^2u\sin v\\2\sin^3u\cos u(\cos^2v+\sin^2v)\end{pmatrix}\right\|du\,dv=\sin^2u\left\|\begin{pmatrix}(2\sin^2u-1)\cos v\\(2\sin^2u-1)\sin v\\2\sin u\cos u\end{pmatrix}\right\|du\,dv$$$$\phantom{df}=\sin^2u\cdot\sqrt{(2\sin^2u-1)^2+(2\sin u\cos u)^2}\,du\,dv$$$$\phantom{df}=\sin^2u\cdot\sqrt{(\sin^2u-\cos^2u)^2+4\sin^2u\cos^2u}\,du\,dv$$$$\phantom{df}=\sin^2u\cdot\sqrt{(\sin^2u+\cos^2u)^2}\,du\,dv=\sin^2u\,du\,dv$$
Egal für welchen Fall du dich entscheidest, lautet das Integral für die gesuchte Fläche:
$$F=\int\limits_{u=0}^\pi\,\int\limits_{v=0}^{2\pi}\sin^2u\,du\,dv=\int\limits_{u=0}^\pi\sin^2u\,du\,\int\limits_{v=0}^{2\pi}dv=\frac{\pi}{2}\cdot2\pi=\pi^2$$
