Lösen Sie die folgenden goniometrischen Gleichungen: sin(3x)= √2 / 2; sin(x) = cos(x); sin(x) + cos² (x) = -1

Question

a. sin(x)= -1/2
b. cos(2x)= 0
c. cos(x) = 1/2
d. sin(3x)= √2 / 2
e. sin(x) = cos(x)
f) sin(x) + cos² (x) = -1

sin(x) = 1 => x = pi/2 + k * 2pi

Comments

Hoffe das Folgende hilft ein Stück weiter: https://www.mathelounge.de/59458/lose-diese-gleichungen-sin-5x-1-cos-x-1

D.h. so kommst du bestimmt mal zur ersten Lösung.

Nach dem ersten Video hier: https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis vermutlich auch zu den übrigen.

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Nicht so wirklich. Ohne Taschenrechner. Dann bringt mir arcsin zum Verständnis auch nichts. :)

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Naja ich hab das hier:

sin(x) = 1 => x = pi/2 + k * 2pi

Stimmt das?

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Ja. Du solltest noch k∈ℤ ergänzen.

Answer 1

d. sin(3x)= √2 / 2 

(3x) = π/4 + 2kπ

oder: 

(3x) = (π-π/4) + 2kπ

 

Jetzt beide noch nach x auflösen:

(3x) = π/4 + 2kπ

x= π/12 + 2kπ/3

oder: 

(3x) = (π-π/4) + 2kπ
x= π/4 + 2kπ/3

L={x| x= π/12 + 2kπ/3 oder x= π/4 + 2kπ/3, k∈ℤ}

e. sin(x) = cos(x)        |:cos(x)

tan(x) = 1
x = π/4 + kπ, k∈ℤ

L={x|  x= π/4 + kπ, k∈ℤ}

f) sin(x) + cos² (x) = -1

sin(x) + (1-sin^2 (x)) = -1

0= sin^2 (x) - sin (x) -2 

Subst. sin(x) = u

0= u^2 - u - 2  |faktorisieren

=(u-2)(u+1)

u1 = 2

u2=-1

rücksubst. 

sin(x) = 2 → L1={}

sin(x)= -1 ---> x = 3π/4 + 2kπ, k∈ℤ

Comments

Danke. Aber mein Problem ist das ich nicht weiß wie du auf die π/4 kommst. Wie kommt man darauf?

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Der Sinus von 45° ist 1/√2 oder eben √2/2.

Das ist einer der Werte, den man wissen sollte. Genaueres dazu hier: https://www.mathelounge.de/52910/winkelfunktionen-einheitskreis-zeigen-dass-45°-und-sin-45°

Ansonsten kannst du in den TR  arcsin(√2/2) eingeben und der gibt dir dann 45° zurück, was π/4 entspricht.

Mehr dazu, wie du die erste Lösung findest: vgl. auch erster Link oben.

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Mh bei d) komm ich irgendwie zu einem anderen Ergebnis. Was mache ich falsch?

sin(3x) = sqrt(2) / 2                 z = 3x

sin(z) = sqrt(2) / 2

arcsin(sqrt(2) / 2) = 1/4 PI

z = 1/4 PI

x = 1/4 PI / 3

x = 1/4 PI / 3 + 2k*(1/4PI / 3)

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x = 1/4 PI / 3 + 2k*(1/4 PI / 3)

Zu Beginn Doppelbruch vereinfachen. Im 2. Summanden hat der Viertel nichts zu suchen. Die Preiodenlänge ist 2π/3.

x= π/(3*4) + (2kπ)/(3) = π/12  + 2kπ/3

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Eine Frage noch: Warum hast Du bei f in der Lösungsmenege die Wiederholdung mit kPI anstatt mit 2kPi angegeben?

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Eine Frage noch: Warum hast Du bei f in der Lösungsmenege die Wiederholdung mit kPI anstatt mit 2kPi angegeben?

Du meinst bestimmt e) 
Dort habe ich es mit Tangens zu tun, der hat die Periodenlänge π. Das sollte eigentlich im Video, den ich dir angegeben habe, vorgekommen sein. (?)