Für welche werte von a hat die Funktion ein isoliertes lokales Minimum in (0,0)

Question

Für welche werte von a hat die Funktion \( f(x, y)=x^{4}-a x y+y^{2} \) ein isoliertes lokales Minimum in (0,0)?

Ich habe mal die Hesse Matrix ausgerechnet und (0,0) eingesetzt:

\( H_{f}(0,0)=\left(\begin{array}{cc}0 & -a \\ -a & 2\end{array}\right) \)

Jetzt habe ich die Eigenwerte ausgerechnet:

$$EW_{1}=1+\sqrt{1+a^2}\\[10pt]EW_{2}=1-\sqrt{1+a^2}$$

Wenn wir ein Minimum haben wollen, müssen ja alle Eigenwerte Positiv sein. Wie also kann ich das a wählen, so dass ich nur noch positive Eigenwerte erhalte und meine Funktion an der stelle (0,0) ein Minimum hat.

Answer 1

Aloha :)

Die Eigenwerte sind korrekt. Für \(a>0\) haben beide Eigenwerte ein unterschiedliches Vorzeichen, daher ist die Hesse-Matrix indefinit und es liegt bei \((0;0)\) ein Sattelpunkt vor.

Für \(a=0\) sind die Eigenwerte \(0\) und \(2\). Daher ist die Hesse-Matrix positiv semidefinit. Es kann daher bei \((0|0)\) ein Sattelpunkt oder ein Minimum vorliegen.