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Aufgabe:

X geht gegen Unendlich


Problem/Ansatz:

Huhu, ich habe mal eine recht harmlose Frage. Für eine gegebene Funktion f bedeutet x->n f(x)=y ja, dass für alle Epsilon > 0 ein delta existiert, sodass für alle x innerhalb der Delta-Umgebung von n gilt, dass der Abstand von f(x)-y < Epsilon. Was bedeutet nun eigentlich x-> ∞ f(x)=y? Ich vermute, dass das folgendes bedeutet: für alle Epsilon > 0 existiert ein n aus den natürlichen Zahlen, sodass für alle x>=n gilt, dass der Abstand von f(x)-y < Epsilon. Kann das jemand bestätigen oder mich eventuell verbessern? Lieben Dank!

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1 Antwort

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hallo

die Aussage  f(x) geht gegen y für x gegen oo ist nicht sinnvoll, meinst du f(x) hat die Asymptote y=x? etwa wenn man f(x)=√(1+x^2) betrachtet  oder y=x^2/(x+1) 

sonst musst du sagen was du meinst.

und ja der Unterschied zwischen f(x) und x wird in dem Fall  der Asymptote immer kleiner und man kann ein x angeben, ab dem er kleiner als ein vorgegebenes epsilon ist.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Hallo lul, vielen Dank für dein Engagement!  Also ich probier es nochmal. Wir haben x -> n f(x)=y folgendermaßen festgelegt:

∀ ε > 0 ∋ d > 0 ∀ x ∈ (n-d,n+d): If(x)-yI<∈ . Ungefähr kann man es also darauf runterbrechen: wir kommen y mit f(x) beliebig nahe, wenn wir nur mit x nah genug an n herangehen. Nun kann n eine beliebige Zahl sein. n kann allerdings auch unendlich sein; und genau dazu war meine Frage. Für mich würde es Sinn machen x -> ∞ f(x)=y so zu übersetzen: wir kommen y mit f(x) beliebig nahe; wir müssen nur x groß genug wählen. Formal würde ich es so aufschreiben: ∀ ε > 0 ∋ n0 ∈ ℕ ∀ n >= n0: If(n)-yI<∈ . Meine Frage ist nun, ob das richtig ist. Also die Schreibweise  x -> ∞ f(x)=y sollte schon Sinn ergeben. So steht es sogar in Büchern. Die Frage ist nur noch, was genau es bedeutet

Hallo,

die Idee ist richtig, allerdings ist die Beschränkung auf natürliche Zahlen falsch. Also

$$\lim_{x \to \infty}f(x)=y :\iff $$$$  \forall \epsilon>0 \exists z \in \mathbb{R}:\forall x \in \mathbb{R}: x>z \Rightarrow |f(x)-y| < \epsilon$$

Gruß Mathhilf

Cool, ich danke dir Mathhilf! :)

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