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Aufgabe:

Bestimme die Gleichung einer Geraden g, welche durch die Mitte M der Strecke AB mit den Punkten A(2Ι2) und B (4Ι3) geht und senkrecht zur Strecke AB steht


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand beim Rechenweg helfen?

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Aloha :)

Die Mitte der Strecke erhalten wir, indem wir von Punkt \(A\) loslaufen und den halben Vektor in Richtung \(B\) gehen:

$$\vec m=\vec a+\frac12\overrightarrow{AB}=\vec a+\frac12\left(\vec b-\vec a\right)=\binom{2}{2}+\frac12\left(\binom{4}{3}-\binom{2}{2}\right)=\binom{2}{2}+\binom{1}{0,5}=\binom{3}{2,5}$$

Durch diesen Punkt muss die Gerade verlaufen. Der Richtungsvektor der Geraden steht senkrecht auf dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\). Den haben wir oben schon berechnet: \(\binom{1}{0,5}\). Es gibt unendlich viele Vektoren, die darauf senkrecht stehen, z.B. der Vektor \(\binom{0,5}{-1}\) oder auch \(\binom{1}{-2}\). Die Gleichung der gesuchten Geraden ist daher nicht eindeutig, es gibt nicht DIE Gleichung der Geraden. Eine mögliche Form haben wir aber gefunden:$$g\colon\binom{3}{2,5}+\lambda\binom{1}{-2}$$

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Ok, danke !

Noch eine Frage: könntest du mir den Rechenweg des Richtungsvektoren bitte noch zeigen, das ist wahrscheinlich der Normalenvektor, ich verstehe aber nicht, wie ich ihn berechne

Den Vektor von \(A\) nach \(B\) bekommst du, wenn du von Punkt \(A\) zum Ursprung läufst, also den Vektor \((-\vec a)\) entlang, und vom Ursprung aus dann zum Punkt \(B\) läufst, als den Vektor \((+\vec b)\) entlang. Daher ist$$\overrightarrow{AB}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a$$Daraus haben wir oben den Vektor \(\binom{1}{0,5}\) berechnet.

Der Richtungsvektor \(\binom{x}{y}\) der Geraden muss auf diesem Vektor senkrecht stehen, das heißt:$$0\stackrel!=\binom{1}{0,5}\cdot\binom{x}{y}=1\cdot x+0,5\cdot y=x+0,5y$$

Es gibt also nur eine Gleichung für 2 Unbekannte \(x\) und \(y\). Daher können wir eine Unbekannte frei wählen, z.B. \(x=1\), und die andere aus der Bedingung zu berechen:$$0\stackrel!=x+0,5y=1+0,5y\implies y=-2$$Damit haben wir dann einen möglichen Richtungsvektor \(\binom{1}{-2}\) gefunden.

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Hier mal ein Weg aus der 8./9. Klasse mittels linearer Funktionen.

Mittelpunkt zwischen A und B

M = ((2 + 4)/2 | (2 + 3)/2) = (3 | 2.5)

Steigung zwischen A und B

m = (3 - 2)/(4 - 2) = 1/2

Senkrecht dazu ist die Steigung

n = -1/(1/2) = - 2

Gerade durch M mit der Steigung n in Punkt Steigungs Form

y = - 2 * (x - 3) + 2.5

Ausmultipliziert

y = 8.5 - 2·x

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