Aloha :)
Hier haben wir es mit einer sog. "Teleskopsumme" zu tun. Die Rechnung von Martin sieht ausführlich wie folgt aus:
$$S_n\coloneqq\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac1i-\frac{1}{i+1}\right)=\sum\limits_{i=1}^n\frac1i-\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i+1}=\sum\limits_{i=1}^n\frac1i-\sum\limits_{i=2}^{n+1}\frac{1}{i}$$$$\phantom{S_n}=\left(\frac11+\sum\limits_{i=2}^n\frac1i\right)-\left(\sum\limits_{i=2}^{n}\frac{1}{i}+\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$$$$S=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$$
Das Vorgehen ist immer ähnlich. Du teilst eine Summe in zwei Summen auf, führst eine Indexverschiebung durch, sodass sich die beiden Summen gegenseitig wegheben.