Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Hier wirft Pythagoras mit einem rechtwinkligen Dreieck nach uns:$$a^2+c^2=b^2$$Aus dem Text entnehmen wir:$$b=c+8\quad;\quad c=\frac34a$$Wir setzen zuerst die erste Formel in den Pythagoras ein:$$a^2+c^2=\underbrace{(c+8)^2}_{=b^2}=c^2+16c+64\quad\implies\quad a^2-16c=64$$Jetzt setzen wir die zweite Formel von oben ein:$$a^2-16\cdot\underbrace{\left(\frac34a\right)}_{=c}=64\quad\implies\quad a^2-12a=64$$Wir addieren auf beiden Seiten die quadratische Ergänzung \(\left(\frac{12}{2}\right)^2=36\) und finden:$$a^2-12a+36=100\implies(a-6)^2=100\implies a-6=\pm\sqrt{100}\implies a-6=\pm10$$Wir haben also zwei theoretische Lösungen, nämlich \(a=-4\) und \(a=16\). Da die Länge \(a\) positiv sein muss, bleibt nur \(\boxed{a=16}\) übrig.
Damit kennen wir auch \(\boxed{c=\frac34a=12}\) und können den Umfang angeben:$$U=2a+2c=32+24=56$$
