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Zerlege die Zahl 12 so in zwei Summanden, dass ihr Produkt möglichst gross wird?
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Daumen
16,2k
Aufrufe
Hallo liebe Leute
Zerlegen Sie die Zahl 12 so in zwei Summanden, dass
a) ihr Produkt möglichst groß wird
b) die Summe der Quadrate möglichst klein wird
Wäre super nett, wenn mir da jemand aus der Patsche hilft.
extremalwertaufgabe
quadrate
summe
produkt
Gefragt
2 Feb 2014
von
Gast
Kannst du denn schon ableiten? Das sind Extremalwertaufgaben.
📘 Siehe "Extremalwertaufgabe" im Wiki
1
Antwort
+
0
Daumen
Hi
a)
x
y = 12-x
Mit der Eigenschaft: x+y = x+(12-x) = 12
Ihr Produkt soll möglichst groß werden:
P = x*y
= x*(12-x)
= -x^2+12x
Erste Ableitung:
f'(x) = -2x+12
Bedingung:
f'(x) = -2x+12 = 0
x = 6
(Das müsste man noch mit der zweiten Ableitung kontrollieren)
Die Summanden sind gleich: x = 6 und y = 6
b)
x
y = 12-x
Eigenschaft: x+y = x+(12-x) = 12
Summe der Quadrate soll minimal werden:
S = x^2+y^2
= x^2+(12-x)^2
= 2x^2-24x+144
Scheitelpunkt (ist der tiefste (oder höchste) Punkt einer Parabel) bestimmen:
S = 2(x^2-12x+36) + 72
S = 2(x-6)^2 + 72
Der tiefste Punkte ist als x = 6
Die Summe der Quadrate wird also am kleinsten, wenn man sie in gleich große Summanden zerlegt.
Anmerkung:
a) Hier mit Ableitung gearbeitet
b) Hier mit Scheitelpunkt gearbeitet.
Es ist jeweils beides möglich ;)
Grüße
Beantwortet
2 Feb 2014
von
Unknown
141 k 🚀
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