Zeigen Sie, dass keine Bijektion f: ℕ → ℤ die Bedingung m ≤ n ⇒ f(m) ≤ f(n) für alle m, n ∈ ℕ erfüllen kann.
Leider verstehe ich nicht so ganz, wie ich vorgehen soll und wie ich das zeigen kann.
Man nehme an es gäbe eine solche Bijektion. Ich nehme jetzt mal an, dass Null auch eine natürliche Zahl ist. Betrachten wir nun \( f(0)=\alpha \in \mathbb{Z} . \) Dann gilt \( x=\alpha-1<\alpha \), jedoch ist \( f^{-1}(\alpha-1)>0 \) da Null ja schon auf \( \alpha \) abgebildet wurde. Damit haben wir also\( 0 \leq x \text { und } f(0)>f(x) \)Ein Widerspruch.
ist α in diesem Fall n und x dann m?
Nein. \(\alpha\) ist im Bild deiner Funktion, \(0=m\) und \(x=n\).
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