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Zeigen Sie, dass keine Bijektion f: ℕ → ℤ die Bedingung m ≤ n ⇒ f(m) ≤ f(n) für alle m, n ∈ ℕ erfüllen kann.


Leider verstehe ich nicht so ganz, wie ich vorgehen soll und wie ich das zeigen kann.

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Man nehme an es gäbe eine solche Bijektion. Ich nehme jetzt mal an, dass Null auch eine natürliche Zahl ist. Betrachten wir nun f(0)=αZ. f(0)=\alpha \in \mathbb{Z} . Dann gilt x=α1<α x=\alpha-1<\alpha , jedoch ist f1(α1)>0 f^{-1}(\alpha-1)>0 da Null ja schon auf α \alpha abgebildet wurde. Damit haben wir also
0x und f(0)>f(x) 0 \leq x \text { und } f(0)>f(x)
Ein Widerspruch.

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ist α in diesem Fall n und x dann m?

Nein. α\alpha ist im Bild deiner Funktion, 0=m0=m und x=nx=n.

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